Sea $ABC$ un triángulo con $\angle B = 30^{\circ }$ . Consideramos los discos cerrados de radio $\frac{AC}3$ , centrados en $A$ , $B$ , $C$ . ¿Existe un triángulo equilátero con un vértice en cada uno de los 3 discos?

Sea $\{a_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión con $a_1=1$ , $a_2=4$ y para todo $n>1$ , \[ a_{n} = \sqrt{ a_{n-1}a_{n+1} + 1 } . \] a) Demuestre que todos los términos de la sucesión son enteros positivos. b) Demuestre que $2a_na_{n+1}+1$ es un cuadrado perfecto para todo entero positivo $n$ .

Se dan los números reales $a_1,a_2,\dots,a_n$ tales que $|a_i|\leq 1$ para todo $i=1,2,\dots,n$ y $a_1+a_2+\cdots+a_n=0$ . a) Demuestre que existe $k\in\{1,2,\dots,n\}$ tal que \[ |a_1+2a_2+\cdots+ka_k|\leq\frac{2k+1}{4}. \] b) Demuestre que para $n > 2$ la cota anterior es la mejor posible.

Sea $p$ un número primo, $p\geq 5$ . Encuentre el número de polinomios de la forma \[ x^p + px^k + p x^l + 1, \quad k > l, \quad k, l \in \left\{1,2,\dots,p-1\right\}, \] que son irreducibles en $\mathbb{Z}[X]$ .

Sean $ABC$ y $AMN$ dos triángulos similares con la misma orientación, tales que $AB=AC$ , $AM=AN$ y con interiores disjuntos. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $MAB$ . Demuestre que los puntos $O$ , $C$ , $N$ , $A$ se encuentran en la misma circunferencia si y sólo si el triángulo $ABC$ es equilátero.

Suponga que $(f_n)_{n\in N}$ es la secuencia de todas las funciones $f_n:[0,1]\rightarrow \mathbb{R^+}$ tal que $f_0$ es la función continua y $\forall x\in [0,1] , \forall n\in \mathbb {N} , f_{n+1}(x)=\int_0^x \frac {1}{1+f_n (t)}dt$ . Pruebe que para cada $x\in [0,1]$ la secuencia de $(f_n(x))_{n\in N}$ es la secuencia convergente y calcule la limitación.

Pruebe que: $\int_{-1}^1f^2(x)dx\ge \frac 1 2 (\int_{-1}^1f(x)dx)^2 +\frac 3 2(\int_{-1}^1xf(x)dx)^2$ Por favor, dé una prueba sin usar funciones pares e impares. (la prueba oficial usa esas y parece ser poco natural) :D

Sean dos funciones biyectivas y continuas $f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que : $\left(f\circ g^{-1}\right)(x)+\left(g\circ f^{-1}\right)(x)=2x$ para cualquier real $x$ . Muestre que si tenemos un valor $x_{0}\in\mathbb{R}$ tal que $f(x_{0})=g(x_{0})$ , entonces $f=g$ .

Suponga que $n\geq 3$ es un número entero y $x\in \mathbb{R}$ tal que $x,x^2$ y $x^n$ tienen la misma representación decimal. Pruebe que $x$ es un número entero.

función $f:\mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}^{\star}$ ( $\mathbb{N}^{\star}=\mathbb{N}\cup \{0\}$ ) con estas condiciones: 1- $f(0,x)=x+1$ 2- $f(x+1,0)=f(x,1)$ 3- $f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$ encuentre $f(3,1997)$