Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con alturas $AD,BE,$ y $CF$ . Sea $H$ el ortocentro, es decir, el punto donde las alturas se encuentran. Demuestra que $\frac{AB\cdot AC+BC\cdot CA+CA\cdot CB}{AH\cdot AD+BH\cdot BE+CH\cdot CF}\leq 2.$

Sea $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ el conjunto de los enteros positivos. Encuentra todas las funciones $f$ , definidas en $\mathbb{N}$ y que toman valores en $\mathbb{N}$ , tales que $(n-1)^2< f(n)f(f(n)) < n^2+n$ para cada entero positivo $n$ .

$u$ es un parámetro real tal que $0<u<1$ . Para $0\le x \le u$ , $f(x)=0$ . Para $u\le x \le n$ , $f(x)=1-\left(\sqrt{ux}+\sqrt{(1-u)(1-x)}\right)^2$ . La secuencia $\{u_n\}$ se define recursivamente de la siguiente manera: $u_1=f(1)$ y $u_n=f(u_{n-1})$ $\forall n\in \mathbb{N}, n\neq 1$ . Demostrar que existe un entero positivo $k$ para el cual $u_k=0$ .

Sea $n$ un entero positivo constante. Demostrar que para solo enteros no negativos $k$ , la ecuación diofántica $\sum_{i=1 }^{n}{ x_i ^3}=y^{3k+2}$ tiene infinitas soluciones en los enteros positivos $x_i, y$ .

Definir un boomerang como un cuadrilátero cuyos lados opuestos no se intersecan y uno de cuyos ángulos internos es mayor que $180^{\circ}$ . Sea $C$ un polígono convexo con $s$ lados. La región interior de $C$ es la unión de $q$ cuadriláteros, ninguno de cuyos interiores se superponen entre sí. $b$ de estos cuadriláteros son boomerangs. Demostrar que $q\ge b+\frac{s-2}{2}$ .

Sean $\{a,b,c\}\in \mathbb{R}^{+}$ . Demostrar que $a^a b^b c^c \ge (abc)^{\frac{a+b+c}{3}}$ .

Sea $f(x)=\frac{9^x}{9^x + 3}$ . Evaluar $\sum_{i=1}^{1995}{f\left(\frac{i}{1996}\right)}$ .

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y circuncentro $O$ . Sea $R$ el radio de la circunferencia circunscrita.\n\n\n$\text{Sea }\mathit{A'}\text{ el punto en }\mathit{AO}\text{ (extendido si es necesario) para el cual }\mathit{HA'}\perp\mathit{AO}. $\n$\text{Sea }\mathit{B'}\text{ el punto en }\mathit{BO}\text{ (extendido si es necesario) para el cual }\mathit{HB'}\perp\mathit{BO}. $\n$\text{Sea }\mathit{C'}\text{ el punto en }\mathit{CO}\text{ (extendido si es necesario) para el cual }\mathit{HC'}\perp\mathit{CO}.$\n\nDemostrar que $HA'+HB'+HC'<2R$ (Nota: El ortocentro de un triángulo es la intersección de las tres alturas del triángulo. La circunferencia circunscrita de un triángulo es el círculo que pasa por los tres vértices del triángulo. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita.)

Considera los siguientes diseños de nueve triángulos con las letras $A, B, C, D, E, F, G, H, I$ en su interior.\nUna secuencia de letras, cada letra elegida de $ A, B, C, D, E, F, G, H, I$ se dice que es amigable con el triángulo si la primera y la última letra de la secuencia es $C$ , y para cada letra, excepto la primera letra, el triángulo que contiene esta letra comparte un borde con el triángulo que contiene la letra anterior en la secuencia. Por ejemplo, la letra después de $C$ debe ser $A, B$ , o $D$ . Por ejemplo, $CBF BC$ es amigable con el triángulo, pero $CBF GH$ y $CBBHC$ no lo son. (a) Determinar el número de secuencias amigables con el triángulo con $2012$ letras. (b) Determinar el número de secuencias amigables con el triángulo con exactamente $2013$ letras.

Sean $x, y, z$ números reales que son mayores o iguales que $0$ y menores o iguales que $\frac{1}{2}$ (a) Determinar el valor mínimo posible de \[x+y+z-xy-yz-zx\] y determinar todas las ternas $(x,y,z)$ para las cuales se obtiene este mínimo. (b) Determinar el valor máximo posible de \[x+y+z-xy-yz-zx\] y determinar todas las ternas $(x,y,z)$ para las cuales se obtiene este máximo.