Suponga que $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ y $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ tal que $f(2)+f(5)<7<f(3)+f(4)$ . Pruebe que existe $u,v\in\mathbb{R}$ tal que $u+v=7 , f(u)+f(v)=7$

Sean $C_1,C_2,..., C_n$ , $(n\ge 3)$ círculos que tienen un punto común $M$ . Tres líneas rectas que pasan por $M$ intersecan nuevamente los círculos en $A_1, A_2,..., A_n$ ; $B_1,B_2,..., B_n$ y $X_1,X_2,..., X_n$ respectivamente. Pruebe que si $$A_1A_2 =A_2A_3 =...=A_{n-1}A_n$$ y $$B_1B_2 =B_2B_3 =...=B_{n-1}B_n$$ entonces $$X_1X_2 =X_2X_3 =...=X_{n-1}X_n.$$

Sea $S$ un punto fuera del plano del paralelogramo $ABCD$ , tal que los triángulos $SAB$ , $SBC$ , $SCD$ y $SAD$ son equivalentes.\na) Pruebe que $ABCD$ es un rombo.\nb) Si la distancia de $S$ al plano $(A, B, C, D)$ es $12$ , $BD = 30$ y $AC = 40$ , calcule la distancia de la proyección del punto $S$ en el plano $(A, B, C, D)$ al plano $(S,B,C)$ .

$ABCDA'B'CD'$ es un paralelepípedo rectangular con $AA'= 2AB = 8a$ , $E$ es el punto medio de $(AB)$ y $M$ es el punto de $(DD')$ para el cual $DM = a \left( 1 + \frac{AD}{AC}\right)$ . \na) Encuentre la posición del punto. $F$ en el segmento $(AA')$ para el cual la suma $CF + FM$ tiene el valor mínimo posible.\nb) Tomando $F$ como arriba, calcule la medida del ángulo de los planos $(D, E, F)$ y $(D, B', C')$ . \nc) Sabiendo que las líneas rectas $AC'$ y $FD$ son perpendiculares, calcule el volumen del paralelepípedo $ABCDA'B'C'D'$ .

Para todos los reales positivos $x,y,z$ con $xyz=1$ pruebe: \[ \frac{x^9+y^9}{x^6+x^3y^3+y^6}+\frac{y^9+z^9}{y^6+y^3z^3+z^6}+\frac{z^9+x^9}{z^6+z^3x^3+x^6}\geq 2 \]

Sea $k$ un número entero y $P(X)$ el polinomio $$P(X) = X^{1997}-X^{1995} +X^2-3kX+3k+1$$ Pruebe que: a) el polinomio no tiene raíz entera; β) los números $P(n)$ y $P(n) + 3$ son primos relativos, para cada entero $n$ .

El cuadrilátero $ABCD$ tiene dos lados paralelos. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $[DC]$ y $[BC]$ , y $P$ el punto común de las líneas $AM$ y $DN$ . Si $\frac{PM}{AP}=\frac{1}{4}$ , pruebe que $ABCD$ es un paralelogramo.

El triángulo $ABC$ tiene $\angle ACB = 30^o$ , $BC = 4$ cm y $AB = 3$ cm . Calcule las alturas del triángulo.

Sea $a \ne 0$ un número natural. Pruebe que $a$ es un cuadrado perfecto si y sólo si para cada $b \in N^*$ existe $c \in N^*$ tal que $a + bc$ es un cuadrado perfecto.

Sea $n_1 = \overline{abcabc}$ y $n_2= \overline{d00d}$ números representados en el sistema decimal, con $a\ne 0$ y $d \ne 0$ . \na) Pruebe que $\sqrt{n_1}$ no puede ser un entero.\nb) Encuentre todos los enteros positivos $n_1$ y $n_2$ tales que $\sqrt{n_1+n_2}$ sea un número entero.\nc) De todos los pares $(n_1,n_2)$ tales que $\sqrt{n_1 n_2}$ es un entero, encuentre aquellos para los cuales $\sqrt{n_1 n_2}$ tiene el mayor valor posible