Sean $p$ , $q$ dos enteros, $q\geq p\geq 0$ . Sea $n \geq 2$ un entero y $a_0=0, a_1 \geq 0, a_2, \ldots, a_{n-1},a_n = 1$ números reales tales que \[ a_{k} \leq \frac{ a_{k-1} + a_{k+1} } 2 , \ \forall \ k=1,2,\ldots, n-1 . \] Demuestre que \[ (p+1) \sum_{k=1}^{n-1} a_k^p \geq (q+1) \sum_{k=1}^{n-1} a_k^q . \]

Sea $n>1$ un entero. Un conjunto $S \subset \{ 0,1,2, \ldots, 4n-1\}$ se llama raro si, para cualquier $k\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ , las siguientes dos condiciones se cumplen al mismo tiempo (1) el conjunto $S\cap \{4k-2,4k-1,4k, 4k+1, 4k+2 \}$ tiene a lo sumo dos elementos; (2) el conjunto $S\cap \{4k+1,4k+2,4k+3\}$ tiene a lo sumo un elemento. Demuestre que el conjunto $\{0,1,2,\ldots,4n-1\}$ tiene exactamente $8 \cdot 7^{n-1}$ subconjuntos raros.

Encuentre todos los enteros no negativos $m,n,p,q$ tales que \[ p^mq^n = (p+q)^2 +1 . \]

Sean $r$ y $s$ dos números racionales. Encuentre todas las funciones $f: \mathbb Q \to \mathbb Q$ tales que para todo $x,y\in\mathbb Q$ tenemos \[ f(x+f(y)) = f(x+r)+y+s. \]

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a+b+c=3$ . Demuestre que: \[ \frac 1{a^2}+\frac 1{b^2}+\frac 1{c^2} \geq a^2+b^2+c^2. \]

Sea $\gamma$ el incírculo en el triángulo $A_0A_1A_2$ . Para todo $i\in\{0,1,2\}$ hacemos las siguientes construcciones (todos los índices se consideran módulo 3): $\gamma_i$ es el círculo tangente a $\gamma$ que pasa por los puntos $A_{i+1}$ y $A_{i+2}$ ; $T_i$ es el punto de tangencia entre $\gamma_i$ y $\gamma$ ; finalmente, la tangente común en $T_i$ de $\gamma_i$ y $\gamma$ interseca la línea $A_{i+1}A_{i+2}$ en el punto $P_i$ . Demuestre que a) los puntos $P_0$ , $P_1$ y $P_2$ son colineales; b) las líneas $A_0T_0$ , $A_1T_1$ y $A_2T_2$ son concurrentes.

Sea $A$ un punto en el exterior del círculo $\mathcal C$ . Dos líneas que pasan por $A$ intersecan el círculo $\mathcal C$ en los puntos $B$ y $C$ (con $B$ entre $A$ y $C$ ) respectivamente en $D$ y $E$ (con $D$ entre $A$ y $E$ ) . La paralela desde $D$ a $BC$ interseca por segunda vez el círculo $\mathcal C$ en $F$ . Sea $G$ el segundo punto de intersección entre el círculo $\mathcal C$ y la línea $AF$ y $M$ el punto en el que las líneas $AB$ y $EG$ se intersecan. Demuestre que \[ \frac 1{AM} = \frac 1{AB} + \frac 1{AC}. \]

El círculo de centro $I$ está inscrito en el cuadrilátero convexo $ABCD$ . Sean $M$ y $N$ puntos en los segmentos $AI$ y $CI$ , respectivamente, tales que $\angle MBN = \frac 12 \angle ABC$ . Demuestre que $\angle MDN = \frac 12 \angle ADC$ .

Sean $x_i$ , $1\leq i\leq n$ números reales. Demuestre que \[ \sum_{1\leq i<j\leq n}|x_i+x_j|\geq\frac{n-2}{2}\sum_{i=1}^n|x_i|. \]

¿Para qué pares de enteros positivos $(m,n)$ existe un conjunto $A$ tal que para todos los enteros positivos $x,y$ , si $|x-y|=m$ , entonces al menos uno de los números $x,y$ pertenece al conjunto $A$ , y si $|x-y|=n$ , entonces al menos uno de los números $x,y$ no pertenece al conjunto $A$ ?