Una cadena $(0_x, 1_y, 2_z)$ es una cadena ternaria infinita tal que: Si hay un $0$ en la posición $i$ , entonces hay un $1$ en la posición $i + x$ , si hay un $1$ en la posición $j$ , entonces hay un $2$ en la posición $j + y$ , si hay un $2$ en la posición $k$ , entonces hay un $0$ en la posición $k + z$ . ¿Para cuántas ternas ordenadas de enteros positivos $(x, y, z)$ con $x, y, z \leq 100$ existe una cadena $(0_x, 1_y, 2_z)$?

Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A = 90^{\circ}$ , y $AB < AC$ . Sean los puntos $D, E, F$ ubicados en el lado $BC$ tales que $AD$ es la altura, $AE$ es la bisectriz del ángulo interno y $AF$ es la mediana. Demuestre que $3AD + AF > 4AE$ .

Sean $x$ e $y$ números reales positivos tales que $x + y = 1$ . Demuestre que $$\left( \frac{x+1}{x} \right)^2 + \left( \frac{y+1}{y} \right)^2 \geq 18.$$

Dado un triángulo acutángulo $ABC$ cuyas alturas desde $B$ y $C$ se intersecan en $H$ , sea $P$ cualquier punto en el lado $BC$ y $X, Y$ sean puntos en $AB, AC$ , respectivamente, tales que $PB = PX$ y $PC = PY$ . Demuestre que los puntos $A, H, X, Y$ se encuentran en un círculo común.

Sea $N$ un número de 3 dígitos con tres dígitos distintos no nulos. Decimos que $N$ es mediocre si tiene la propiedad de que cuando se escriben las seis permutaciones de 3 dígitos de $N$ , el promedio es $N$ . Por ejemplo, $N = 481$ es mediocre, ya que es el promedio de $\{418, 481, 148, 184, 814, 841\}$ . Determine el número mediocre más grande.

Un polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros se dice tri-divisible si $3$ divide a $f(k)$ para cualquier entero $k$ . Determine las condiciones necesarias y suficientes para que un polinomio sea tri-divisible.

Encuentra todas las soluciones enteras a la ecuación $7x^2y^2 + 4x^2 = 77y^2 + 1260$ .

Sea $p$ un número primo para el cual $\frac{p-1}{2}$ también es primo, y sean $a,b,c$ enteros no divisibles por $p$ . Demuestra que hay a lo sumo $1+\sqrt {2p}$ enteros positivos $n$ tales que $n<p$ y $p$ divide a $a^n+b^n+c^n$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ . Sea $I$ un círculo con centro en la altura desde $A$ en $ABC$ , que pasa por el vértice $A$ y los puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB$ y $AC$ . Asuma que $BP\cdot CQ = AP\cdot AQ.$ Demuestra que $I$ es tangente al circuncírculo del triángulo $BOC$ .

En una grilla cuadrada de $(4n + 2)\times (4n + 2)$ , una tortuga puede moverse entre cuadrados que comparten un lado. La tortuga comienza en un cuadrado de esquina de la grilla y entra a cada cuadrado exactamente una vez, terminando en el cuadrado donde ella comenzó. En términos de $n$ , ¿cuál es el entero positivo más grande $k$ tal que debe haber una fila o columna que la tortuga haya entrado al menos $k$ veces distintas?