Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes reales no negativos. Sea $k$ un entero positivo y $x_1, x_2, \dots, x_k$ números reales positivos tales que $x_1x_2\cdots x_k=1$ . Demuestra que $$P(x_1)+P(x_2)+\cdots+P(x_k)\geq kP(1).$$

Considere un triángulo $ABC$ con $BC>AC$ . El círculo con centro $C$ y radio $AC$ interseca el segmento $BC$ en $D$ . Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ y $\Gamma$ el círculo que pasa por $I$ y es tangente a la línea $CA$ en $A$ . La línea $AB$ y $\Gamma$ se intersecan en un punto $F$ con $F \neq A$ . Demuestra que $BF=BD$ .

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ que satisfacen la siguiente propiedad: si $a$ , $b$ y $c$ son enteros tales que $a+b+c=0$ , entonces $$f(a)+f(b)+f(c)=a^2+b^2+c^2.$$

Suponga que tiene monedas idénticas distribuidas en varias pilas con una o más monedas en cada pila. Una acción consiste en tomar dos pilas, que tienen un total par de monedas entre ellas, y redistribuir sus monedas en dos pilas de modo que terminen con la misma cantidad de monedas. Una distribución es nivelable si es posible, por medio de 0 o más operaciones, terminar con todas las pilas que tienen la misma cantidad de monedas. Determine todos los enteros positivos $n$ tales que, para todos los enteros positivos $k$ , cualquier distribución de $nk$ monedas en $n$ pilas es nivelable.

Un entero positivo de cuatro dígitos se llama virtual si tiene la forma $\overline{abab}$ , donde $a$ y $b$ son dígitos y $a \neq 0$ . Por ejemplo 2020, 2121 y 2222 son números virtuales, mientras que 2002 y 0202 no lo son. Encuentra todos los números virtuales de la forma $n^2+1$ , para algún entero positivo $n$ .

Se da un entero positivo $n$ . Sea $A$ el conjunto de puntos $x \in (0;1)$ tal que $|x-\frac{p} {q}|>\frac{1}{n^3}$ para cada fracción racional $\frac{p} {q}$ con denominador $q \leq n^2$ . Demostrar que $A$ es una unión de intervalos con una longitud total que no excede $\frac{100}{n}$ .

Se colocan piezas hexagonales numeradas con enteros positivos en las celdas de un tablero hexagonal con lado $n$ . Dos celdas adyacentes se dejan vacías, y gracias a ello algunas piezas pueden moverse. Dos piezas con lados comunes intercambiaron lugares (ver un ejemplo en el adjunto 2). Demostrar que si $n \ge 3$ el segundo arreglo no se puede obtener del primero moviendo la pieza. Nota: Mover una pieza a requiere dos celdas vacías adyacentes. Por ejemplo, si están a la derecha de a (adjunto 1, figura de la izquierda), a se puede mover a la derecha hasta que toque un ángulo (adjunto 1, figura del medio), y luego se puede mover hacia arriba a la derecha o hacia abajo a la derecha (adjunto 1, figura de la derecha)

En el plano se dibujan $n$ segmentos con longitudes $a_1, a_2, \dots , a_n$ . Cada rayo que comienza en el punto $O$ se encuentra con al menos uno de los segmentos. Sea $h_i$ la distancia desde $O$ al $i$ -ésimo segmento (¡no la línea!). Demostrar la desigualdad \[\frac{a_1}{h_1}+\frac{a_2}{h_2} + \ldots + \frac{a_i}{h_i} \geqslant 2 \pi.\]

Un pequeño barco navega en un mar coordenado infinito. En el momento $t$ el barco está en el punto con coordenadas $(f(t), g(t))$ , donde $f$ y $g$ son dos polinomios de tercer grado. Ayer a las $14:00$ el barco estaba en el mismo punto que a las $13:00$ , y a las $20:00$ , estaba en el mismo punto que a las $19:00$ . Demostrar que el barco navega a lo largo de una línea recta.

Dos puntos $A$ y $B$ y la línea $\ell$ están fijos en el plano de modo que $\ell$ no es perpendicular a $AB$ y no interseca el segmento $AB$ . Consideramos todos los círculos con centro $O$ que no están en $\ell$ , que pasan por $A$ y $B$ y que se encuentran con $\ell$ en algunos puntos $C$ y $D$ . Demostrar que todos los circuncírculos de los triángulos $OCD$ tocan un círculo fijo.