Sean $u, v,w$ números reales en progresión geométrica tales que $u > v > w$. Suponga que $u^{40} = v^n = w^{60}$. Encuentre el valor de $n$.

Sean $a, b$ enteros tales que todas las raíces de la ecuación $(x^2+ax+20)(x^2+17x+b) = 0$ son enteros negativos. ¿Cuál es el valor posible más pequeño de $a + b$?

Suponga que un entero $x$ , un número natural $n$ y un número primo $p$ satisfacen la ecuación $7x^2-44x+12=p^n$ . Encuentra el valor más grande de $p$ .

Suponga que en el plano 10 líneas no paralelas entre sí se intersectan entre sí. ¿Cuál es el número máximo posible de polígonos (con áreas finitas) que se pueden formar?

Encuentra el número de ternas ordenadas (a, b, c) de enteros positivos tales que abc = 108.

Encuentra todos los primos $p$ para los cuales el cociente \n\[ \dfrac{2^{p-1} - 1 }{p} \]\nes un cuadrado.

Sea $n \geq 2$. Sean $a_1 , a_2 , a_3 , \ldots a_n$ $n$ números reales todos menores que $1$ y tales que $|a_k - a_{k+1} | < 1$ para $1 \leq k \leq n-1$. Demuestra que \n\[ \dfrac{a_1}{a_2} + \dfrac{a_2}{a_3} + \dfrac{a_3}{a_4} + \ldots + \dfrac{a_{n-1}}{a_n} + \dfrac{a_n}{a_1} < 2 n - 1 . \]

Sea $ABC$ un triángulo y un círculo $\Gamma'$ dibujado fuera del triángulo, tocando su incírculo $\Gamma$ externamente, y también los dos lados $AB$ y $AC$. Demuestra que la razón de los radios de los círculos $\Gamma'$ y $\Gamma$ es igual a $\tan^ 2 { \left( \dfrac{ \pi - A }{4} \right) }.$

Demuestra que el número de subconjuntos de $3$ elementos $\{ a , b, c \}$ de $\{ 1 , 2, 3, \ldots, 63 \}$ con $a+b +c < 95$ es menor que el número de aquellos con $a + b +c \geq 95.$

Demuestra que existen infinitos pares $(a,b)$ de enteros relativamente primos (no necesariamente positivos) tales que ambas ecuaciones \n\begin{eqnarray*} x^2 +ax +b &=& 0 \\ x^2 + 2ax + b &=& 0 \\\n\end{eqnarray*}\ntienen raíces enteras.