En un triángulo acutángulo $ABC$, $\angle A = 30^{\circ}$, $H$ es el ortocentro, y $M$ es el punto medio de $BC$. En la línea $HM$, toma un punto $T$ tal que $HM = MT$. Demuestra que $AT = 2 BC$.

Dado un triángulo $ABC$ con ángulos $\angle A = 60^{\circ}, \angle B = 75^{\circ}, \angle C = 45^{\circ}$ , sea $H$ su ortocentro, y $O$ su circuncentro. Sea $F$ el punto medio del lado $AB$ , y $Q$ el pie de la perpendicular desde $B$ sobre $AC$ . Denotemos por $X$ el punto de intersección de las líneas $FH$ y $QO$ . Suponga que la razón de la longitud de $FX$ y el circunradio del triángulo está dada por $\dfrac{a + b \sqrt{c}}{d}$ , entonces encuentre el valor de $1000a + 100b + 10c + d$ .

Considere el conjunto $S$ de permutaciones de $1, 2, \dots, 2022$ tal que para todos los números $k$ en la permutación, el número de números menores que $k$ que siguen a $k$ es par. Por ejemplo, para $n=4; S = {[3,4,1,2]; [3,1,2,4]; [1,2,3,4]; [1,4,2,3]}$ Si $|S| = (a!)^b$ donde $a, b \in \mathbb{N}$ , entonces encuentre el producto $ab$ .

Los siguientes $100$ números están escritos en la pizarra: $$2^1 - 1, 2^2 - 1, 2^3 - 1, \dots, 2^{100} - 1.$$ Alicia elige dos números $a,b,$ los borra y escribe el número $\dfrac{ab - 1}{a+b+2}$ en la pizarra. Ella sigue haciendo esto hasta que quede un solo número en la pizarra. Si la suma de todos los números posibles con los que puede terminar es $\dfrac{p}{q}$ donde $p, q$ son coprimos, entonces, ¿cuál es el valor de $\log_{2}(p+q)$ ?

Sean $r$ , $s$ números reales, encuentra el máximo $t$ tal que si $a_1, a_2, \ldots$ es una secuencia de números reales positivos que satisfacen\n\[ a_1^r + a_2^r + \cdots + a_n^r \le 2023 \cdot n^t \]\npara todo $n \ge 2023$ entonces la suma\n\[ b_n = \frac 1{a_1^s} + \cdots + \frac 1{a_n^s} \]\nes no acotada, es decir, para todo real positivo $M$ existe un $n$ tal que $b_n > M$ .

En CMI, cada persona tiene a lo sumo $3$ amigos. Una enfermedad ha infectado exactamente a $2023$ personas en CMI. Cada día, una persona se infecta si y sólo si al menos dos de sus amigos fueron infectados el día anterior. Una vez que alguien está infectado, no puede morir ni ser curado. Dado que todos en CMI eventualmente se infectaron, ¿cuál es el número máximo posible de personas en CMI?

Sea $S = \mathbb Z \times \mathbb Z$ . Un subconjunto $P$ de $S$ se llama agradable si\n$(a, b) \in P \implies (b, a) \in P$\n$(a, b)$ , $(c, d)\in P \implies (a + c, b - d) \in P$\nEncuentra todos los $(p, q) \in S$ tal que si $(p, q) \in P$ para algún conjunto agradable $P$ entonces $P = S$ .

Sea $ABC$ un triángulo. Sea $I$ el incentro de $ABC$ y $S$ el punto medio del arco $BAC$ . Define $I_A$ como el $A$ - excentro con respecto a $ABC$ . Define $\omega$ como el círculo centrado en $S$ con radio $SB$ . Sea $AI_A \cap \omega = X$ , $Y$ . Muestra que $\angle BCX = \angle ACY$ .

Sea $S = \mathbb Z \times \mathbb Z$ . Un subconjunto $P$ de $S$ se llama agradable si\n$(a, b) \in P \implies (b, a) \in P$\n$(a, b)$ , $(c, d)\in P \implies (a + c, b - d) \in P$\nEncuentra todos los $(p, q) \in S$ tal que si $(p, q) \in P$ para algún conjunto agradable $P$ entonces $P = S$ .

Sea $n$ un entero positivo y $S = \{ m \mid 2^n \le m < 2^{n+1} \}$ . Llamamos a un par de enteros no negativos $(a, b)$ elegante si $a + b$ está en $S$ y es un palíndromo en binario. Encuentra el número de pares elegantes $(a, b)$ .