Demostrar que para cada entero positivo $n \geq 2$ , $$\frac{\sum_{1\leq i \leq n} \sqrt[3]{\frac{i}{n+1}}}{n} \leq \frac{\sum_{1\leq i \leq n-1} \sqrt[3]{\frac{i}{n}}}{n-1}.$$

En un grafo con $n$ vértices, cada dos vértices están conectados por un camino único. Para cada dos vértices $u$ y $v$ , sea $d(u, v)$ la distancia entre $u$ y $v$ , es decir, el número de aristas en el camino que conecta estos dos vértices, y $\deg(u)$ denota el grado de un vértice $u$ . Sea $W$ la suma de las distancias por pares entre los vértices, y $D$ la suma de las distancias por pares ponderadas: $\sum_{\{u, v\}}(\deg(u)+\deg(v))d(u, v)$ . Demostrar que $D=4W-n(n-1)$ .

Los números $1, 2, 3, \ldots$ están dispuestos en una espiral en los vértices de una cuadrícula cuadrada infinita (ver figura). Luego, en el centro de cada cuadrado se coloca la suma de los números en sus vértices. Demostrar que para cada entero positivo n los centros de los cuadrados contienen infinitos múltiplos de $n$ .

El círculo $\omega$ se encuentra dentro del círculo $\Omega$ y lo toca internamente en el punto $P$ . Se toma un punto $S$ en $\omega$ y se dibuja la tangente a $\omega$ a través de él. Esta tangente se encuentra con $\Omega$ en los puntos $A$ y $B$ . Sea $I$ el centro de $\omega$ . Hallar el lugar geométrico de los circuncentros de los triángulos $AIB$ .

$3n$ personas que forman $n$ familias de una madre, un padre y un hijo, están de pie en un círculo. Cada dos vecinos pueden intercambiar lugares excepto en el caso en que un padre intercambia lugares con su hijo (esto está prohibido). ¿Para qué $n$ es posible obtener cada disposición de esas personas mediante tales intercambios? Las disposiciones que difieren por un desplazamiento circular se consideran distintas.

Un $\textit{paso euclidiano}$ transforma un par $(a, b)$ de enteros positivos, $a > b$ , al par $(b, r)$ , donde $r$ es el resto cuando a se divide por $b$ . Llamemos a la $\textit{complejidad}$ de un par $(a, b)$ el número de pasos euclidianos necesarios para transformarlo en un par de la forma $(s, 0)$ . Demostrar que si $ad - bc = 1$ , entonces las complejidades de $(a, b)$ y $(c, d)$ difieren a lo sumo en $2$ .

Un grafo contiene $p$ vértices numerados del $1$ al $p$ , y $q$ aristas numeradas del $p + 1$ al $p + q$ . Resultó que para cada arista la suma de los números de sus extremos y de la arista misma es igual al mismo número $s$ . También se sabe que los números de aristas que parten de todos los vértices son iguales. Demostrar que \[s = \dfrac{1}{2} (4p+q+3).\]

Dos jugadores juegan un juego. Tienen $n > 2$ montones que contienen $n^{10}+1$ piedras cada uno. Un movimiento consiste en quitar todos los montones menos uno y dividir el montón restante en $n$ montones no vacíos. El jugador que no puede moverse pierde. ¿Quién tiene una estrategia ganadora, el jugador que se mueve primero o su adversario?

El punto $L$ dentro del triángulo $ABC$ es tal que $CL = AB$ y $ \angle BAC + \angle BLC = 180^{\circ}$ . El punto $K$ en el lado $AC$ es tal que $KL \parallel BC$ . Demostrar que $AB = BK$

Serge y Tanya quieren mostrarle a Masha un truco de magia. Serge sale de la habitación. Masha escribe una secuencia $(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ , donde todos los $a_k$ son iguales a $0$ o $1$ . Después de eso, Tanya escribe una secuencia $(b_1, b_2, \ldots , b_n)$ , donde todos los $b_k$ también son iguales a $0$ o $1$ . Luego, Masha no hace nada o dice 'Mutabor' y reemplaza ambas secuencias: su propia secuencia por $(a_n, a_{n-1}, \ldots , a_1)$ , y la secuencia de Tanya por $(1 - b_n, 1 - b_{n-1}, \ldots , 1 - b_1)$ . La secuencia de Masha está cubierta por una servilleta, y Serge es invitado a la habitación. Serge debe mirar la secuencia de Tanya y decir la secuencia cubierta por la servilleta. ¿Para qué $n$ pueden Serge y Tanya preparar y mostrar tal truco? Serge no tiene que determinar si la palabra 'Mutabor' ha sido pronunciada.