Los enteros $1, 2, 3, ... ,n$ , donde $n > 2$ , están escritos en una pizarra. Dos números $m, k$ tales que $1 < m < n, 1 < k < n$ son eliminados y el promedio de los números restantes resulta ser $17$. ¿Cuál es la suma máxima de los dos números eliminados?

Suponga que $x$ es un número real positivo tal que $\{x\}, [x]$ y $x$ están en una progresión geométrica. Encuentra el entero positivo más pequeño $n$ tal que $x^n > 100$. (Aquí $[x]$ denota la parte entera de $x$ y $\{x\} = x - [x]$ .)

En un rectángulo $ABCD, E$ es el punto medio de $AB, F$ es un punto en $AC$ tal que $BF$ es perpendicular a $AC$ , y $FE$ perpendicular a $BD$. Suponga que $BC = 8\sqrt3$. Encuentra $AB$.

En una clase, el número total de niños y niñas está en la proporción $4 : 3$. Un día se descubrió que $8$ niños y $14$ niñas estaban ausentes de la clase, y que el número de niños era el cuadrado del número de niñas. ¿Cuál es el número total de estudiantes en la clase?

Sea $f(x) = \sin \frac{x}{3}+ \cos \frac{3x}{10}$ para todo $x$ real. Encuentra el número natural más pequeño $n$ tal que $f(n\pi + x)= f(x)$ para todo $x$ real.

Hay ocho habitaciones en el primer piso de un hotel, con cuatro habitaciones a cada lado del pasillo, situadas simétricamente (es decir, cada habitación está exactamente enfrente de otra habitación). Cuatro huéspedes deben ser alojados en cuatro de las ocho habitaciones (es decir, uno en cada una) de manera que no haya dos huéspedes en habitaciones adyacentes o en habitaciones opuestas. ¿De cuántas maneras se pueden alojar los huéspedes?

Hay cinco ciudades $A,B,C,D,E$ en una isla. Cada ciudad está conectada a todas las demás ciudades por carretera. ¿De cuántas maneras una persona que parte de la ciudad $A$ puede regresar a $A$ después de visitar algunas ciudades sin visitar una ciudad más de una vez y sin tomar la misma carretera más de una vez? (El orden en que visita las ciudades también importa: por ejemplo, las rutas $A \to B \to C \to A$ y $A\to C \to B \to A$ son diferentes.)

Un bolígrafo cuesta $11$ € y un cuaderno cuesta $13$ €. Encuentra el número de formas en que una persona puede gastar exactamente $1000$ € para comprar bolígrafos y cuadernos.

Encuentra el número de enteros positivos $n$ , tales que $\sqrt{n} + \sqrt{n + 1} < 11$ .

Sea la suma $\sum_{n=1}^{9} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ escrita en sus términos más bajos como $\frac{p}{q}$ . Encuentra el valor de $q - p$ .