Sea $0<f(1)<f(2)<f(3)<\ldots$ una sucesión con todos sus términos positivos . El $n$-ésimo entero positivo que no pertenece a la sucesión es $f(f(n))+1.$ Hallar $f(240).$

Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos impares que no son múltiplos de $5$ y que son menores que $30m$ , siendo $m$ un entero positivo arbitrario. ¿Cuál es el entero más pequeño $k$ tal que en cualquier subconjunto de $k$ enteros de $S$ debe haber dos enteros diferentes, uno de los cuales divide al otro?

Consideramos tres semirrectas distintas $Ox, Oy, Oz$ en un plano. Demostrar la existencia y unicidad de tres puntos $A \in Ox, B \in Oy, C \in Oz$ tales que los perímetros de los triángulos $OAB,OBC,OCA$ son todos iguales a un número dado $2p > 0.$

Sea $f$ una función inyectiva de ${1,2,3,\ldots}$ en sí misma. Demostrar que para cualquier $n$ tenemos: $\sum_{k=1}^{n} f(k)k^{-2} \geq \sum_{k=1}^{n} k^{-1}.$

Para cada entero $d \geq 1$ , sea $M_d$ el conjunto de todos los enteros positivos que no se pueden escribir como una suma de una progresión aritmética con diferencia $d$ , que tiene al menos dos términos y que consta de enteros positivos. Sea $A = M_1$ , $B = M_2 \setminus \{2 \}, C = M_3$ . Demuestra que cada $c \in C$ puede escribirse de forma única como $c = ab$ con $a \in A, b \in B.$

Sea $T_1$ un triángulo que tiene $a, b, c$ como longitudes de sus lados y sea $T_2$ otro triángulo que tiene $u, v,w$ como longitudes de sus lados. Si $P,Q$ son las áreas de los dos triángulos, demuestra que\n\[16PQ \leq a^2(-u^2 + v^2 + w^2) + b^2(u^2 - v^2 + w^2) + c^2(u^2 + v^2 - w^2).\]\n¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sean $ m$ y $ n$ enteros positivos tales que $ 1 \le m < n$ . En sus representaciones decimales, los últimos tres dígitos de $ 1978^m$ son iguales, respectivamente, a los últimos tres dígitos de $ 1978^n$ . Encuentra $ m$ y $ n$ tales que $ m + n$ tenga su valor mínimo.

Dos triángulos equiláteros idénticamente orientados, $ABC$ con centro $S$ y $A'B'C$ , se dan en el plano. También tenemos $A' \neq S$ y $B' \neq S$ . Si $M$ es el punto medio de $A'B$ y $N$ el punto medio de $AB'$ , demuestra que los triángulos $SB'M$ y $SA'N$ son similares.

El conjunto $M = \{1, 2, . . . , 2n\}$ se divide en $k$ subconjuntos no intersectantes $M_1,M_2, \dots, M_k,$ donde $n \ge k^3 + k.$ Demuestra que existen números pares $2j_1, 2j_2, \dots, 2j_{k+1}$ en $M$ que están en uno y el mismo subconjunto $M_i$ $(1 \le i \le k)$ tal que los números $2j_1 - 1, 2j_2 - 1, \dots, 2j_{k+1} - 1$ también están en uno y el mismo subconjunto $M_j (1 \le j \le k).$

Un entero positivo $N$ es interoceánico si su factorización prima $$N=p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}$$ satisface $$x_1+x_2+\dots +x_k=p_1+p_2+\cdots +p_k.$$ Encuentra todos los números interoceánicos menores que 2020.