Sea $p$ un primo y $k$ un entero positivo tal que $k \le p$ . Sabemos que $f(x)$ es un polinomio en $\mathbb Z[x]$ tal que para todo $x \in \mathbb{Z}$ tenemos $p^k | f(x)$ . (a) Demuestre que existen polinomios $A_0(x),\ldots,A_k(x)$ todos en $\mathbb Z[x]$ tales que \[ f(x)=\sum_{i=0}^{k} (x^p-x)^ip^{k-i}A_i(x),\] (b) Encuentre un contraejemplo para cada primo $p$ y cada $k > p$ .

Encuentre el lugar geométrico de los puntos $P$ en un triángulo equilátero $ABC$ para los cuales la raíz cuadrada de la distancia de $P$ a uno de los lados es igual a la suma de la raíz cuadrada de la distancia de $P$ a los otros dos lados.

Se da el círculo $\omega$ con centro $O$. Desde un punto arbitrario $T$ fuera de $\omega$ dibuje las tangentes $TB$ y $TC$ a él. $K$ y $H$ están en $TB$ y $TC$ respectivamente. a) $B'$ y $C'$ son el segundo punto de intersección de $OB$ y $OC$ con $\omega$ respectivamente. $K'$ y $H'$ están en las bisectrices del ángulo $\angle BCO$ y $\angle CBO$ respectivamente tales que $KK' \bot BC$ y $HH'\bot BC$ . Pruebe que $K,H',B'$ son colineales si y sólo si $H,K',C'$ son colineales. b) Considere que existen dos círculos en $TBC$ tales que son tangentes entre sí en $J$ y ambos son tangentes a $\omega$ . y uno de ellos es tangente a $TB$ en $K$ y el otro es tangente a $TC$ en $H$ . Pruebe que dos cuadriláteros $BKJI$ y $CHJI$ son cíclicos ( $I$ es el incentro del triángulo $OBC$ ).

Encuentre todas las funciones sobreyectivas $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que para cada $x,y\in \mathbb R,$ tenemos \[f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y).\]

Defina un conjunto finito $A$ como 'bueno' si satisface las siguientes condiciones: (a) Para cada tres elementos disjuntos de $A$, como $a,b,c$ tenemos $\gcd(a,b,c)=1;$ (b) Para cada dos $b,c\in A$ distintos, existe un $a\in A$ distinto de $b,c$ tal que $bc$ es divisible por $a.$ Encuentre todos los conjuntos buenos.

Hay $n$ puntos en un círculo ( $n>1$ ). Defina un 'intervalo' como un arco de un círculo tal que su inicio y finalización son de esos puntos. Considere una familia de intervalos $F$ tal que para cada elemento de $F$ como $A$ hay casi otro elemento de $F$ como $B$ tal que $A \subseteq B$ (en este caso llamamos a $A$ sub-intervalo de $B$ ). Llamamos a un intervalo maximal si no es un sub-intervalo de ningún otro intervalo. Si $m$ es el número de elementos maximales de $F$ y $a$ es el número de elementos no maximales de $F$, demuestre que $n\geq m+\frac a2.$

Encuentre todos los números naturales $n$ mayores que $2$ tales que existen $n$ números naturales $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ tales que no todos son iguales, y la secuencia $a_{1}a_{2},a_{2}a_{3},\ldots,a_{n}a_{1}$ forma una progresión aritmética con diferencia común distinta de cero.

En el triángulo acutángulo $ABC$ el ángulo $B$ es mayor que $C$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. $D$ y $E$ son los pies de la altura desde $C$ y $B$ respectivamente. $K$ y $L$ son los puntos medios de $ME$ y $MD$ respectivamente. Si $KL$ interseca la línea que pasa por $A$ paralela a $BC$ en $T$, demuestre que $TA=TM$.

Sea $ABC$ un triángulo y $X$ un punto en su circuncírculo. $Q,P$ se encuentran en una línea $BC$ tal que $XQ\perp AC , XP\perp AB$ . Sea $Y$ el circuncentro de $\triangle XQP$ . Demostrar que $ABC$ es un triángulo equilátero si y solo si $Y$ se mueve en un círculo cuando $X$ varía en el circuncírculo de $ABC$ .

Dado un triángulo $ABC$ agudo no isósceles con circunferencia circunscrita $\Gamma$ . $M$ es el punto medio del segmento $BC$ y $N$ es el punto medio del arco $BC$ de $\Gamma$ (el que no contiene a $A$ ) . $X$ e $Y$ son puntos en $\Gamma$ tales que $BX\parallel CY\parallel AM$ . Asuma que existe un punto $Z$ en el segmento $BC$ tal que la circunferencia circunscrita del triángulo $XYZ$ es tangente a $BC$ . Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ZMN$ . La línea $AM$ se encuentra con $\omega$ por segunda vez en $P$ . Sea $K$ un punto en $\omega$ tal que $KN\parallel AM$ , sea $\omega_b$ un círculo que pasa por $B$ , $X$ y es tangente a $BC$ y sea $\omega_c$ un círculo que pasa por $C$ , $Y$ y es tangente a $BC$ . Demuestre que el círculo con centro $K$ y radio $KP$ es tangente a 3 círculos $\omega_b$ , $\omega_c$ y $\Gamma$ . Propuesto por Tran Quan - Vietnam Dadgarnia