Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 60^\circ$ . Los puntos $E$ y $F$ son los pies de las bisectrices de los vértices $B$ y $C$ respectivamente. Los puntos $P$ y $Q$ se consideran tales que los cuadriláteros $BFPE$ y $CEQF$ son paralelogramos. Demuestre que $\angle PAQ > 150^\circ$ . (Considere el ángulo $PAQ$ que no contiene el lado $AB$ del triángulo.) Propuesto por Alireza Dadgarnia Dadgarnia

Tres círculos $\omega_1$ , $\omega_2$ y $\omega_3$ pasan por un punto común, digamos $P$ . La línea tangente a $\omega_1$ en $P$ interseca a $\omega_2$ y $\omega_3$ por segunda vez en los puntos $P_{1,2}$ y $P_{1,3}$ , respectivamente. Los puntos $P_{2,1}$ , $P_{2,3}$ , $P_{3,1}$ y $P_{3,2}$ se definen de manera similar. Demuestre que las mediatrices de los segmentos $P_{1,2}P_{1,3}$ , $P_{2,1}P_{2,3}$ y $P_{3,1}P_{3,2}$ son concurrentes. Propuesto por Mahdi Etesamifard Dadgarnia

Encuentre todos los cuadriláteros $ABCD$ tales que los cuatro triángulos $DAB$ , $CDA$ , $BCD$ y $ABC$ son semejantes entre sí. Propuesto por Morteza Saghafian Dadgarnia

Dos círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente se intersecan en los puntos $A$ y $B$ , y el punto $O_1$ se encuentra en $\omega_2$ . Sea $P$ un punto arbitrario que se encuentra en $\omega_1$ . Las líneas $BP, AP$ y $O_1O_2$ cortan a $\omega_2$ por segunda vez en los puntos $X$ , $Y$ y $C$ , respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $XPYC$ es un paralelogramo. Propuesto por Iman Maghsoudi Dadgarnia

Para un polígono convexo (es decir, todos los ángulos menores de $180^\circ$ ) llame a una diagonal bisectriz si biseca tanto el área como el perímetro del polígono. ¿Cuál es el número máximo de diagonales bisectrices para un pentágono convexo? Propuesto por Morteza Saghafian Dadgarnia

Se da un cuadrilátero $ABCD$ tal que $$ \angle DAC = \angle CAB = 60^\circ, $$ y $$ AB = BD - AC. $$ Las líneas $AB$ y $CD$ se intersecan en el punto $E$ . Demuestre que $$ \angle ADB = 2\angle BEC. $$ Propuesto por Iman Maghsoudi Dadgarnia

Hay $n>2$ líneas en el plano en posición general; es decir, dos cualquiera de ellas se cruzan, pero no hay tres concurrentes. Todos sus puntos de intersección están marcados, y luego se eliminan todas las líneas, pero los puntos marcados permanecen. No se sabe a qué dos líneas pertenece cada punto marcado. ¿Es posible saber a qué línea pertenece cada punto y restaurarlas todas? Propuesto por Boris Frenkin - Rusia Dadgarnia

Como se muestra en la figura, hay dos rectángulos $ABCD$ y $PQRD$ con la misma área, y con bordes correspondientes paralelos. Sean los puntos $N,$ $M$ y $T$ los puntos medios de los segmentos $QR,$ $PC$ y $AB$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $N,M$ y $T$ se encuentran en la misma línea. http://s4.picofile.com/file/8372959484/E02.png Propuesto por Morteza Saghafian Dadgarnia

Hay una mesa con forma de rectángulo de $8\times 5$ con cuatro agujeros en sus esquinas. Después de disparar una bola desde los puntos $A, B$ y $C$ en las trayectorias mostradas, ¿caerá la bola en alguno de los agujeros después de 6 reflejos? (La bola se refleja con el mismo ángulo después de contactar los bordes de la mesa.) http://s5.picofile.com/file/8372960750/E01.png Propuesto por Hirad Alipanah Dadgarnia

Tenemos seis círculos por pares no intersecantes de modo que el radio de cada uno es al menos uno (ningún círculo se encuentra en el interior de ningún otro círculo). Demuestre que el radio de cualquier círculo que interseca los seis círculos, es al menos uno.