Suponga $\frac{1}{2} < s < 1$ . Un insecto vuela sobre $[0,1]$ . Si está en el punto $a$ , salta al punto $ a\times s$ o $(a-1) \times s +1$ . Para cada número real $0 \le c \le 1$ , demuestre que el insecto puede saltar de modo que después de algunos saltos , tenga una distancia menor que $\frac {1}{1402}$ desde el punto $c$ .

Suponga que $d(n)$ es el número de divisores positivos del número natural $n$ . Demuestre que existe un número natural $n$ tal que $$ \forall i\in \mathbb{N} , i \le 1402: \frac{d(n)}{d(n \pm i)} >1401 $$

Arman, comenzando desde un número, calcula la suma de los cubos de los dígitos de ese número, y nuevamente calcula la suma de los cubos de los dígitos del número resultante y continúa el mismo proceso. Arman llama a un número $Good$ si llega a $1$ después de realizar una serie de pasos. Demuestre que existe una progresión aritmética de longitud $1402$ de números buenos.

Algunos libros se colocan uno encima del otro. Alguien primero, invierte el libro superior. Luego invierte los $2$ libros superiores. Luego invierte los $3$ libros superiores y continúa así. Después de invertir todos los libros, comienza esta operación desde el primero. Demuestre que después de un número finito de movimientos, los libros se vuelven exactamente como su configuración inicial.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo. Demuestre que: $a)$ el número de puntos en la circunferencia de $ABCD$ , como $M$ , tales que $\frac{MA}{MB}=\frac{MD}{MC}$ es $4$ . $b)$ Las diagonales del cuadrilátero que se hace con estos puntos son perpendiculares entre sí.

a.) Sea $m>1$ un entero positivo. Demuestre que existe un número finito de enteros positivos $n$ tales que $m+n|mn+1$ . b.) Para enteros positivos $m,n>2$ , demuestre que existe una secuencia $a_0,a_1,\cdots,a_k$ de enteros positivos mayores que $2$ tales que $a_0=m$ , $a_k=n$ y $a_i+a_{i+1}|a_ia_{i+1}+1$ para $i=0,1,\cdots,k-1$ .

Suponga que $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ es una función para la cual la expresión $af(a)+bf(b)+2ab$ para todos $a,b \in \mathbb{N}$ es siempre un cuadrado perfecto. Pruebe que $f(a)=a$ para todos $a \in \mathbb{N}$ .

Sea $ABC$ un triángulo y $A',B',C'$ los puntos medios de $BC,CA,AB$ respectivamente. Sean $P$ y $P'$ puntos en el plano tales que $PA=P'A',PB=P'B',PC=P'C'$ . Pruebe que todos los $PP'$ pasan por un punto fijo.

Encuentre el valor mínimo de $k$ tal que para todos $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ la desigualdad \[ \begin{array} c \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)} +\sqrt{(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)} +\sqrt{(c^2+1)(d^2+1)(a^2+1)} +\sqrt{(d^2+1)(a^2+1)(b^2+1)} \\ \\ \ge 2( ab+bc+cd+da+ac+bd)-k \end{array}\] se cumple.

Tenemos $n$ puntos en el plano tales que no todos son colineales. Llamamos a una línea $\ell$ una línea 'buena' si podemos dividir esos $n$ puntos en dos conjuntos $A,B$ tales que la suma de las distancias de todos los puntos en $A$ a $\ell$ es igual a la suma de las distancias de todos los puntos en $B$ a $\ell$ . Demuestre que existen infinitos puntos en el plano tales que para cada uno de ellos tenemos al menos $n+1$ líneas buenas que pasan por ellos.