Sea el incírculo de un triángulo ABC que toca BC,AC,AB en A1,B1,C1 respectivamente. M y N son los puntos medios de AB1 y AC1 respectivamente. MN se encuentra con A1C1 en T . Dibuje dos tangentes TP y TQ a través de T al incírculo. PQ se encuentra con MN en L y B1C1 se encuentra con PQ en K . Asuma que I es el centro del incírculo. Demuestre que IK es paralelo a AL

Sea $p$ un número primo impar. Sea $S$ la suma de todas las raíces primitivas módulo $p$. Demuestre que si $p-1$ no es libre de cuadrados (es decir, si existen enteros $k$ y $m$ con $k>1$ y $p-1=k^2m$ ) , entonces $S \equiv 0 \mod p$ . Si no, ¿a qué es congruente $S$ $\mod p$ ?

XOY es un ángulo en el plano. A,B son puntos variables en OX,OY tales que 1/OA+1/OB=1/K (k es constante). Dibuje dos círculos con diámetro OA y OB. Demuestre que la tangente externa común a estos círculos es tangente al círculo constante (determine el radio y el lugar geométrico de su centro).

Asuma que A es un subconjunto finito de números primos, y a es un entero positivo. Demuestre que solo hay finitamente muchos enteros positivos m tales que: los divisores primos de $a^m-1$ están contenidos en A.

Asuma ABCD un cuadrilátero convexo. P y Q están en BC y DC respectivamente, tales que el ángulo BAP= ángulo DAQ . Demuestre que [ADQ]=[ABP] ([ABC] significa su área ) si y solo si la línea que cruza los ortocentros de estos triángulos, es perpendicular a AC.

Suponga la siguiente ecuación: $x^2 + y^2 + z^2 = w^2$. Demuestre que la solución de esta ecuación (si w,z tienen la misma paridad) está en esta forma: x=2d(XZ-YW), y=2d(XW+YZ),z=d(X^2 +Y^2 -Z^2 -W^2 ),w=d(X^2 +Y^2 +Z^2 +W^2 )

Suponga que tenemos $2n$ subconjuntos no vacíos de $ \big\{0,1,2,...,2n-1\big\} $ tal que la suma de los elementos de estos subconjuntos es $ \binom{2n+1}{2}$ . Demuestre que podemos elegir un elemento de cada subconjunto tal que algunos de ellos sumen $ \binom{2n}{2}$

Encuentre todas las funciones inyectivas $f:\mathbb{Z}\ge0 \to \mathbb{Z}\ge0 $ tales que para cada número natural $n$ y números reales $a_0,a_1,...,a_n$ (no todos iguales a $0$ ) , el polinomio $\sum_{i=0}^{n}{a_i x^i}$ tiene una raíz real si y sólo si $\sum_{i=0}^{n}{a_i x^{f(i)}}$ tiene una raíz real.

la línea $l$ pasa por el punto $A$ del triángulo $ABC$ . El punto $X$ está en la línea $l$ . ${\omega}_b$ y ${\omega}_c$ son círculos que pasan por los puntos $X,A$ y son tangentes respectivamente a $AB$ y $AC$ . Las tangentes desde $B,C$ respectivamente a ${\omega}_b$ y ${\omega}_c$ se encuentran con ellos en $Y,Z$ . Demuestre que al cambiar $X$ , el circuncírculo del círculo $XYZ$ pasa por dos puntos fijos.

Encuentre todas las funciones $ f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ tales que para cada tres números reales positivos $x,y,z$ : $$ x+f(y) , f(f(y)) + z , f(f(z))+f(x) $$ son la longitud de tres lados de un triángulo y para cada número positivo $p$ , existe un triángulo con estos lados y perímetro $p$ .