El segmento $AB$ está fijo en el plano. Encuentre el $n$ más grande, tal que haya $n$ puntos $P_1,P_2,\dots,P_n$ en el plano tales que los triángulos $ABP_i$ son similares para $ 1\leq i\leq n$. Demuestre que todos los $P_i$ 's se encuentran en un círculo.

Asuma una matriz de $m\times n$ que está llena solo con 0, 1 y cualquier dos filas difieren en al menos $n/2$ miembros, demuestre que $m \leq 2n$. (por ejemplo, la diferencia de estas dos filas es solo en un índice 110 100)

n $\geq$ 6 es un entero. Evalúe el mínimo de f(n) tal que: cualquier grafo con n vértices y f(n) aristas contiene dos ciclos que son distintos (también no tienen vértices en común)?

Aquí está el problema más difícil y hermoso que ocurre en la olimpiada iraní número 21 (2003). Asuma que P es un n-gono, que se encuentra en el plano, nombramos sus aristas 1,2,..,n. Si S=s1,s2,s3,.... es una secuencia finita o infinita tal que para cada i, si está en {1,2,...,n}, movemos P en el plano de acuerdo con la S de esta forma: al principio reflejamos P a través de s1 (s1 significa la arista cuyo número es s1) luego a través de s2 y así sucesivamente como en la figura de abajo. a) Demuestre que existe la secuencia infinita S tal que si movemos P de acuerdo con S cubrimos todo el plano b)Demuestre que la secuencia en a) no es periódica. c) Asuma que P es un pentágono regular, cuyo radio de su circuncírculo es 1, y D es un círculo, con radio 1.00001, arbitrariamente en el plano. ¿Existe una secuencia S tal que movemos P de acuerdo con S entonces P reside en D completamente?

Hay una lámpara en el espacio. (Considere la lámpara un punto) ¿Existe un número finito de esferas iguales en el espacio tal que la luz de la lámpara no pueda ir al infinito? (Si un rayo choca en una esfera, se detiene)

Asuma que X es un conjunto de n números y $0\leq k\leq n$. El número máximo de permutaciones que actúan sobre $X$ tal que cada dos de ellas tienen al menos k componentes en común, es $a_{n,k}$. Y el número máximo de permutaciones tal que cada dos de ellas tienen como máximo k componentes en común, es $b_{n,k}$. a) Demuestre que : $a_{n,k}\cdot b_{n,k-1}\leq n!$ b)Asuma que p es un número primo, determine el valor exacto de $a_{p,2}$.

Sea p un primo y a y n números naturales tales que $(p^a -1 )/ (p-1) = 2 ^n$. Encuentre el número de divisores naturales de na.

¿Existe un conjunto infinito $S$ tal que para cada $a, b \in S$ tenemos $ a^2 + b^2 - ab \mid (ab)^2$?

Un entero positivo $n$ se dice que es una potencia perfecta si $n=a^b$ para algunos enteros $a,b$ con $b>1$ . (a) Encuentre $2004$ potencias perfectas en progresión aritmética. (b) Demuestre que las potencias perfectas no pueden formar una progresión aritmética infinita.

$f_{1},f_{2},\dots,f_{n}$ son polinomios con coeficientes enteros. Demuestre que existe un $g(x)$ reducible con coeficientes enteros tal que $f_{1}+g,f_{2}+g,\dots,f_{n}+g$ son irreducibles.