Sea $n \in \mathbb{N}$ y $S_{n}$ el conjunto de todas las permutaciones de $\{1,2,3,...,n\}$ . Para cada permutación $\sigma \in S_{n}$ denotamos $I(\sigma) := \{ i: \sigma (i) \le i \}$ . Calcule la suma $\sum_ {\sigma \in S_{n}} \frac{1}{|I(\sigma)|} \sum_ {i \in I(\sigma)} (i+ \sigma(i))$ .

Sea $p$ un número primo impar. Determine todos los pares de polinomios $f$ y $g$ de $\mathbb{Z}[X]$ tales que \[f(g(X))=\sum_{k=0}^{p-1} X^k = \Phi_p(X).\]

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo de circuncentro $O$ . Sean las tangentes a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en los puntos $B$ y $C$ que se encuentran en el punto $P$ . El círculo de centro $P$ y radio $PB=PC$ se encuentra con la bisectriz interna de $\angle BAC$ dentro de $\triangle ABC$ en el punto $S$ , y $OS \cap BC = D$ . Las proyecciones de $S$ sobre $AC$ y $AB$ respectivamente son $E$ y $F$ . Demuestre que $AD$ , $BE$ y $CF$ son concurrentes.

Sea $n$ un entero positivo y sean $A_n$ respectivamente $B_n$ el conjunto de enteros no negativos $k<n$ tales que el número de factores primos distintos de $\gcd(n,k)$ es par (respectivamente impar). Demuestre que $|A_n|=|B_n|$ si $n$ es par y $|A_n|>|B_n|$ si $n$ es impar. Ejemplo: $A_{10} = \left\{ 0,1,3,7,9 \right\}$ , $B_{10} = \left\{ 2,4,5,6,8 \right\}$ .

Determine la constante real más pequeña $c$ tal que \[\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}x_j \right )^2\leq c\sum_{k=1}^{n}x_k^2\] para todos los enteros positivos $n$ y todos los números reales positivos $x_1,\cdots ,x_n$ .

Para cada entero positivo $n$ , sea $\sigma(n)$ la suma de todos los divisores positivos de $n$ ( $1$ y $n$ , inclusive). Demuestre que un entero positivo $n$ , que tiene como máximo dos factores primos distintos, satisface la condición $\sigma(n)=2n-2$ si y solo si $n=2^k(2^{k+1}+1)$ , donde $k$ es un entero no negativo y $2^{k+1}+1$ es primo.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles, $AB = AC$ , y sean $M$ y $N$ puntos en los lados $BC$ y $CA$ , respectivamente, tales que $\angle BAM=\angle CNM$ . Las líneas $AB$ y $MN$ se encuentran en $P$ . Demuestre que las bisectrices internas de los ángulos $BAM$ y $BPM$ se encuentran en un punto en la línea $BC$ .

Sea $f$ la función del conjunto de enteros positivos en sí mismo, definida por $f(1) = 1$ , $f(2n) = f(n)$ y $f(2n + 1) = f(n) + f(n + 1)$ . Demuestre que, para cualquier entero positivo $n$ , el número de enteros impares positivos $m$ tales que $f(m) = n$ es igual al número de enteros positivos menores o iguales que $n$ y coprimos con $n$ .

Determine todos los enteros positivos $n$ tales que todos los enteros positivos menores que $n$ y coprimos con $n$ son potencias de primos.

Sea $a$ un número real en el intervalo abierto $(0,1)$ . Sea $n\geq 2$ un entero positivo y sea $f_n\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $f_n(x) = x+\frac{x^2}{n}$ . Demuestre que \[\frac{a(1-a)n^2+2a^2n+a^3}{(1-a)^2n^2+a(2-a)n+a^2}<(f_n \circ\ \cdots\ \circ f_n)(a)<\frac{an+a^2}{(1-a)n+a}\] donde hay $n$ funciones en la composición.