Sea $ABCA'B'C'$ un prisma regular. Los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $BB'$, respectivamente $BC$, y el ángulo entre las rectas $AB'$ y $BC'$ es de $60^\circ$. Sean $O$ y $P$ la intersección de las rectas $A'C$ y $AC'$, con respectivamente $B'C$ y $C'N$. a) Demuestra que $AC' \perp (OPM)$ ; b) Encuentra la medida del ángulo entre la recta $AP$ y el plano $(OPM)$.

Para un entero positivo $n$, escrito en base decimal, denotamos por $p(n)$ el producto de sus dígitos. a) Demuestra que $p(n) \leq n$ ; b) Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que \[ 10p(n) = n^2+ 4n - 2005. \]

Consideramos un cubo con lados de longitud 1. Demuestra que un tetraedro con vértices en el conjunto de los vértices del cubo tiene el volumen $\dfrac 16$ si y solo si 3 de los vértices del tetraedro son vértices en la misma cara del cubo.

Sea $A$ un anillo con $2^n+1$ elementos, donde $n$ es un entero positivo y sea \[ M = \{ k \in\mathbb{Z} \mid k \geq 2, \ x^k =x , \ \forall \ x\in A \} . \] Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) $A$ es un campo; b) $M$ no está vacío y el elemento más pequeño en $M$ es $2^n+1$.

Sea $f:[0,\infty)\to(0,\infty)$ una función continua tal que $\lim_{n\to\infty} \int^x_0 f(t)dt$ existe y es finita. Demuestra que \[ \lim_{x\to\infty} \frac 1{\sqrt x} \int^x_0 \sqrt {f(t)} dt = 0. \]

Sea $G$ un grupo con $m$ elementos y sea $H$ un subgrupo propio de $G$ con $n$ elementos. Para cada $x\in G$ denotamos $H^x = \{ xhx^{-1} \mid h \in H \}$ y suponemos que $H^x \cap H = \{e\}$ , para todo $x\in G - H$ (donde por $e$ denotamos el elemento neutro del grupo $G$ ). a) Demuestra que $H^x=H^y$ si y solo si $x^{-1}y \in H$ ; b) Encuentra el número de elementos del conjunto $\bigcup_{x\in G} H^x$ como una función de $m$ y $n$.

Demuestra que los morfismos de grupo $f: (\mathbb{C},+)\to(\mathbb{C},+)$ para los cuales existe un $\lambda$ positivo tal que $|f(z)| \leq \lambda |z|$ para todo $z\in\mathbb{C}$ , tienen la forma \[ f(z) = \alpha z + \beta \overline{z} \] para algunos complejos $\alpha$ , $\beta$.

Sea $n$ un entero positivo y sea $f\colon [0,1] \to \mathbb{R}$ una función creciente. Encuentre el valor de : \[\max_{0\leq x_1\leq\cdots\leq x_n\leq 1}\sum_{k=1}^{n}f\left ( \left | x_k-\frac{2k-1}{2n} \right | \right )\]

Sea $m$ un entero positivo y sean $A$ , respectivamente $B$ , dos alfabetos con $m$ , respectivamente $2m$ letras. Sea también $n$ un entero par que es al menos $2m$ . Sea $a_n$ el número de palabras de longitud $n$ , formadas con letras de $A$ , en las que aparecen todas las letras de $A$ , cada una un número par de veces. Sea $b_n$ el número de palabras de longitud $n$ , formadas con letras de $B$ , en las que aparecen todas las letras de $B$ , cada una un número impar de veces. Calcule $\frac{b_n}{a_n}$ .

Sea $ABC$ un triángulo y $O$ su circuncentro. Las líneas $OA$ y $BC$ se intersecan en $M$ ; los puntos $N$ y $P$ se definen de manera análoga. La línea tangente en $A$ a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ interseca a $NP$ en el punto $X$ ; los puntos $Y$ y $Z$ se definen de manera análoga. Demuestre que los puntos $X$ , $Y$ y $Z$ son colineales.