Hallar todos los enteros no negativos $n$ tales que existen $a,b \in \mathbb Z$ que satisfacen $n^2=a+b$ y $n^3=a^2+b^2$ .

Sea $\mathcal K$ un cuerpo de característica $p$ , $p \equiv 1 \left( \bmod 4 \right)$ . (a) Demostrar que $-1$ es el cuadrado de un elemento de $\mathcal K.$ (b) Demostrar que cualquier elemento $\neq 0$ de $\mathcal K$ puede escribirse como la suma de tres cuadrados, cada uno $\neq 0$ , de elementos de $\mathcal K$ . (c) ¿Puede escribirse $0$ de la misma manera?

Sea $f : \left[ 0,1 \right] \to \mathbb R$ una función integrable tal que $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 x f(x) \, dx = 1 .$ Demostrar que $\displaystyle \int_0^1 f^2 (x) \, dx \geq 4 .$

Sea $f \in \mathbb Z[X]$ . Para un $n \in \mathbb N$ , $n \geq 2$ , definimos $f_n : \mathbb Z / n \mathbb Z \to \mathbb Z / n \mathbb Z$ mediante $f_n \left( \widehat x \right) = \widehat{f \left( x \right)}$ , para todo $x \in \mathbb Z$ . (a) Demostrar que $f_n$ está bien definida. (b) Hallar todos los polinomios $f \in \mathbb Z[X]$ tales que para todo $n \in \mathbb N$ , $n \geq 2$ , la función $f_n$ es sobreyectiva.

Hallar todas las funciones continuas $f : \mathbb R \to \mathbb R$ tales que para todo $x \in \mathbb R$ y para todo $n \in \mathbb N^{\ast}$ tenemos que $\displaystyle n^2 \int_{x}^{x + \frac{1}{n}} f(t) \, dt = n f(x) + \frac12 .$

El problema es sobre funciones polinómicas reales, denotadas por $f$ , de grado $\deg f$ . a) Pruebe que una función polinómica $f$ no puede ser escrita como la suma de a lo sumo $\deg f$ funciones periódicas. b) Muestre que si una función polinómica de grado $1$ se escribe como la suma de dos funciones periódicas, entonces son no acotadas en cada intervalo (por lo tanto, son 'salvajes'). c) Muestre que toda función polinómica de grado $1$ puede ser escrita como la suma de dos funciones periódicas. d) Muestre que toda función polinómica $f$ puede ser escrita como la suma de $\deg f+1$ funciones periódicas. e) Dé un ejemplo de una función que no puede ser escrita como una suma finita de funciones periódicas.

Sea $ ABC$ un triángulo, sean $ E, F$ los puntos de tangencia del incírculo $ \Gamma(I)$ a los lados $ AC$ , respectivamente $ AB$ , y sea $ M$ el punto medio del lado $ BC$ . Sea $ N = AM \cap EF$ , sea $ \gamma(M)$ el círculo de diámetro $ BC$ , y sean $ X, Y$ los otros (que $ B, C$ ) puntos de intersección de $ BI$ , respectivamente $ CI$ , con $ \gamma$ . Pruebe que \[ \frac {NX} {NY} = \frac {AC} {AB}.\]

Para $n\in\mathbb{N}$ , $n\geq 2$ , $a_{i}, b_{i}\in\mathbb{R}$ , $1\leq i\leq n$ , tales que \[\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}=1, \sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=0. \] Pruebe que \[\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\right)^{2}+\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}\right)^{2}\leq n. \]

Tres compañías de viajes proveen transporte entre $n$ ciudades, tal que cada conexión entre un par de ciudades es cubierta por una compañía solamente. Pruebe que, para $n \geq 11$ , debe existir un viaje redondo a través de algunas cuatro ciudades, usando los servicios de una misma compañía, mientras que para $n < 11$ esto ya no es necesariamente cierto.

El mundialmente famoso teórico marxista Joric está obsesionado tanto con las matemáticas como con el igualitarismo social. Por lo tanto, para cualquier representación decimal de un entero positivo $n$ , intenta particionar sus dígitos en dos grupos, de tal manera que la diferencia entre las sumas de los dígitos en cada grupo sea lo más pequeña posible. Joric llama a esta diferencia el defecto del número $n$ . Determine el valor promedio del defecto (sobre todos los enteros positivos), es decir, si denotamos por $\delta(n)$ el defecto de $n$ , calcule \[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{k = 1}^{n}\delta(k)}{n}.\]