Sea $ ABCD$ un paralelogramo con ningún ángulo igual a $ 60^{\textrm{o}}$ . Encuentre todos los pares de puntos $ E, F$ , en el plano de $ ABCD$ , tales que los triángulos $ AEB$ y $ BFC$ son isósceles, de base $ AB$ , respectivamente $ BC$ , y el triángulo $ DEF$ es equilátero.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo, tal que $AB=BC$ , $CD=DE$ , $\angle B+\angle D=180^{\circ}$ , y su área es $\sqrt2$ . a) Si $\angle B=135^{\circ}$ , encuentre la longitud de $[BD]$ . b) Encuentre el mínimo de la longitud de $[BD]$ .

Sea $ABC$ un triángulo, y $\omega_{a}$ , $\omega_{b}$ , $\omega_{c}$ círculos dentro de $ABC$ , que son tangentes (externamente) uno al otro, tales que $\omega_{a}$ es tangente a $AB$ y $AC$ , $\omega_{b}$ es tangente a $BA$ y $BC$ , y $\omega_{c}$ es tangente a $CA$ y $CB$ . Sea $D$ el punto común de $\omega_{b}$ y $\omega_{c}$ , $E$ el punto común de $\omega_{c}$ y $\omega_{a}$ , y $F$ el punto común de $\omega_{a}$ y $\omega_{b}$ . Demuestre que las líneas $AD$ , $BE$ y $CF$ tienen un punto común.

En un círculo con centro $O$ se inscribe un polígono, que se triangula. Demuestre que la suma de los cuadrados de las distancias desde $O$ a los incentros de los triángulos formados es independiente de la triangulación.

i) Encuentre todas las progresiones aritméticas infinitas formadas con enteros positivos tales que exista un número $N \in \mathbb{N}$ , tal que para cualquier primo $p$ , $p > N$ , el $p$ - ésimo término de la progresión es también primo. ii) Encuentre todos los polinomios $f(X) \in \mathbb{Z}[X]$ , tales que exista $N \in \mathbb{N}$ , tal que para cualquier primo $p$ , $p > N$ , $| f(p) |$ es también primo.

Considere el conjunto $E = \{1,2,\ldots,2n\}$ . Pruebe que un elemento $c \in E$ puede pertenecer a un subconjunto $A \subset E$ , teniendo $n$ elementos, y tal que dos elementos distintos cualesquiera en $A$ no se dividen uno al otro, si y solo si \[c > n \left( \frac{2}{3}\right )^{k+1},\] donde $k$ es el exponente de $2$ en la factorización de $c$ .

Sea $ A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ un pentágono convexo, tal que \[ [A_{1}A_{2}A_{3}] = [A_{2}A_{3}A_{4}] = [A_{3}A_{4}A_{5}] = [A_{4}A_{5}A_{1}] = [A_{5}A_{1}A_{2}].\] Pruebe que existe un punto $ M$ en el plano del pentágono tal que \[ [A_{1}MA_{2}] = [A_{2}MA_{3}] = [A_{3}MA_{4}] = [A_{4}MA_{5}] = [A_{5}MA_{1}].\] Aquí $ [XYZ]$ representa el área del triángulo $ \Delta XYZ$ .

Pruebe que la función $f : \mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{Z}$ definida por $f(n) = n^{2007}-n!$ , es inyectiva.

Los puntos $M, N, P$ son elegidos en los lados $BC, CA, AB$ de un triángulo $\Delta ABC$ , tal que el triángulo $\Delta MNP$ es acutángulo. Denotamos con $x$ la longitud de la altitud más corta del triángulo $\Delta ABC$ , y con $X$ la longitud de las altitudes más largas del triángulo $\Delta MNP$ . Pruebe que $x \leq 2X$ .

Sean $a_{i}$ , $i = 1,2, \dots ,n$ , $n \geq 3$ , enteros positivos, teniendo el máximo común divisor 1, tales que \[a_{j}\textrm{ divide }\sum_{i = 1}^{n}a_{i}\] para todo $j = 1,2, \dots ,n$ . Pruebe que \[\prod_{i = 1}^{n}a_{i}\textrm{ divide }\Big\{(}\sum_{i = 1}^{n}a_{i}\Big\{)^{n-2}.\]