Demuestre que no existe una función $f:(0,\infty )\rightarrow (0,\infty)$ tal que \[f(x+y)\ge f(x)+yf(f(x)) \] para todo $x,y\in (0,\infty )$ .

Encuentre todos los pares $\left(m,n\right)$ de enteros positivos, con $m,n\geq2$ , tales que $a^n-1$ es divisible por $m$ para cada $a\in \left\{1,2,3,\ldots,n\right\}$ .

Sean $ p$ y $ q$ enteros positivos relativamente primos. Un subconjunto $ S$ de $ \{0, 1, 2, \ldots \}$ se llama ideal si $ 0 \in S$ y para cada elemento $ n \in S,$ los enteros $ n + p$ y $ n + q$ pertenecen a $ S.$ Determine el número de subconjuntos ideales de $ \{0, 1, 2, \ldots \}.$

Sea $n$ un entero positivo y $f(x)=a_mx^m+\ldots + a_1X+a_0$ , con $m\ge 2$ , un polinomio con coeficientes enteros tal que: a) $a_2,a_3\ldots a_m$ son divisibles por todos los factores primos de $n$ , b) $a_1$ y $n$ son relativamente primos. Demuestre que para cualquier entero positivo $k$ , existe un entero positivo $c$ , tal que $f(c)$ es divisible por $n^k$ .

Demuestre que el conjunto de enteros positivos que no pueden representarse como una suma de cuadrados perfectos distintos es finito.

Encuentre el menor $n\in N$ tal que entre cualesquiera $n$ rayos en el espacio que compartan un origen común existan dos que formen un ángulo agudo.

Los vértices $A,B,C$ y $D$ de un cuadrado se encuentran fuera de un círculo con centro en $M$ . Sean $AA',BB',CC',DD'$ tangentes al círculo. Asuma que los segmentos $AA',BB',CC',DD'$ son los lados consecutivos de un cuadrilátero $p$ en el que está inscrito un círculo. Demuestre que $p$ tiene un eje de simetría.

En el interior de un cubo de lado $6$ hay $1001$ cubos unitarios con las caras paralelas a las caras del cubo dado. Demostrar que hay $2$ cubos unitarios con la propiedad de que el centro de uno de ellos se encuentra en el interior o en una de las caras del otro cubo.

Sea $ABCD A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ una pirámide regular truncada en la que $BC^{\prime}$ y $DA^{\prime}$ son perpendiculares. (a) Demostrar que $\measuredangle \left( AB^{\prime},DA^{\prime} \right) = 60^{\circ}$ ; (b) Si la proyección de $B^{\prime}$ en $(ABC)$ es el centro de la circunferencia inscrita de $ABC$ , entonces demostrar que $d \left( CB^{\prime},AD^{\prime} \right) = \frac12 BC^{\prime}$ .

Demostrar que la ecuación $x^2+y^2+z^2+t^2=2^{2004}$ , donde $0 \leq x \leq y \leq z \leq t$ , tiene exactamente $2$ soluciones en $\mathbb Z$ .