Resuelve el sistema $$ \left\{\begin{matrix} 3^y-4^x=11\\ \log_4{x} +\log_3 y =3/2\end{matrix}\right. $$\nResuelve la ecuación $ \quad 9^{\log_5 (x-2)} -5^{\log_9 (x+2)} = 4. $

Sea un círculo centrado en $ O, $ y $ A,B,C, $ puntos situados en este círculo. Demuestra que si $$ \left|\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}\right| = \left|\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC}\right| = \left|\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{OA}\right| , $$ entonces $ A=B=C, $ o $ ABC $ es un triángulo equilátero.

Sean $ a,b $ dos enteros no negativos tales que $ a^2>b. $ Demuestra que la ecuación $$ \left\lfloor\sqrt{x^2+2ax+b}\right\rfloor =x+a-1 $$ tiene un número infinito de soluciones en los enteros no negativos. Aquí, $ \lfloor\alpha\rfloor $ denota la parte entera de $ \alpha. $\nEncuentra la parte entera de $ m=\sqrt{2+\sqrt{2+\underbrace{\cdots}_{\text{n veces}}+\sqrt{2}}} , $ donde $ n $ es un número natural. Justifica.

Demuestra que $ \frac{n}{2}\ge \frac{2\sqrt{x} +3\sqrt[3]{x}+\cdots +n\sqrt[n]{x}}{n-1} -x, $ para todos los reales no negativos $ x $ y los enteros $ n\ge 2. $\nSi $ x,y,z\in (0,\infty ) , $ entonces prueba la desigualdad $$ \sum_{\text{cyc}} \frac{x}{(2x+y+z)^2+4} \le 3/16 $$

Sea $ \mathcal G$ el conjunto de todos los grupos finitos con al menos dos elementos.\na) Demostrar que si $ G\in \mathcal G$, entonces el número de morfismos $ f: G\to G$ es a lo sumo $ \sqrt [p]{n^n}$, donde $ p$ es el mayor divisor primo de $ n$, y $ n$ es el número de elementos en $ G$.\nb) Hallar todos los grupos en $ \mathcal G$ para los cuales la desigualdad en el punto a) es una igualdad.

Sea $ A$ un anillo unitario finito con $ n$ elementos, tal que la ecuación $ x^n=1$ tiene una única solución en $ A$, $ x=1$. Demostrar que a) $ 0$ es el único elemento nilpotente de $ A$; b) existe un entero $ k\geq 2$, tal que la ecuación $ x^k=x$ tiene $ n$ soluciones en $ A$.

Sea $ f: [0,1]\to\mathbb R$ una función derivable, con una derivada continua $ f'$ en $ [0,1]$. Demostrar que si $ f\left( \frac 12\right) = 0$, entonces \[ \int^1_0 \left( f'(x) \right)^2 dx \geq 12 \left( \int^1_0 f(x) dx \right)^2.\]

Sea $ a>0$ y $ f: [0,\infty) \to [0,a]$ una función continua en $ (0,\infty)$ y que tiene la propiedad de Darboux en $ [0,\infty)$. Demostrar que si $ f(0)=0$ y para todo $ x$ no negativo tenemos \[ xf(x) \geq \int^x_0 f(t) dt ,\] entonces $ f$ admite primitivas en $ [0,\infty)$.

Sea $ A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ una matriz real $ n\times n$, tal que $ a_{ij} + a_{ji} = 0$, para todo $ i,j$. Demostrar que para todo número real no negativo $ x,y$ tenemos \[ \det(A+xI_n)\cdot \det(A+yI_n) \geq \det (A+\sqrt{xy}I_n)^2.\]

Sea $ f: \mathbb R \to \mathbb R$ una función, dos veces derivable en $ \mathbb R$ para la cual existe $ c\in\mathbb R$ tal que \[ \frac { f(b)-f(a) }{b-a} \neq f'(c) ,\] para todo $ a\neq b \in \mathbb R$. Demostrar que $ f''(c)=0$.