Sea $ A$ una matriz $ n\times n$ con elementos complejos. Demostrar que $ A^{-1} = \overline{A}$ si y sólo si existe una matriz invertible $ B$ con elementos complejos tal que $ A= B^{-1} \cdot \overline{B}$.

Sea $ f : (0,\infty) \to \mathbb R$ una función continua tal que las sucesiones $ \{f(nx)\}_{n\geq 1}$ son no decrecientes para cualquier número real $ x$. Demostrar que $ f$ es no decreciente.

Consideramos la proposición $ p(n)$: $ n^2+1$ divide a $ n!$, para enteros positivos $ n$. Demostrar que hay infinitos valores de $ n$ para los cuales $ p(n)$ es verdadera, e infinitos valores de $ n$ para los cuales $ p(n)$ es falsa.

Sea $ A=\{1,2,\ldots, 2008\}$. Diremos que el conjunto $ X$ es un conjunto $ r$ si $ \emptyset \neq X \subset A$ , y $ \sum_{x\in X} x \equiv r \pmod 3$. Sea $ X_r$ , $ r\in\{0,1,2\}$ el conjunto de conjuntos $ r$. Hallar cuál de $ X_r$ tiene más elementos.

Sean $ a,b,c$ 3 números complejos tales que \[ a|bc| + b|ca| + c|ab| = 0.\] Demostrar que \[ |(a-b)(b-c)(c-a)| \geq 3\sqrt 3 |abc|.\]

Sea $ ABC$ un triángulo y los puntos $ D\in (BC)$ , $ E\in (CA)$ , $ F\in (AB)$ tales que \[ \frac {BD}{DC} = \frac {CE}{EA} = \frac {AF}{FB}.\] Demostrar que si los circuncentros de los triángulos $ DEF$ y $ ABC$ coinciden entonces $ ABC$ es equilátero.

En los lados del triángulo $ ABC$ consideramos puntos $ C_1,C_2 \in (AB), B_1,B_2 \in (AC), A_1,A_2 \in (BC)$ tales que los triángulos $ A_1,B_1,C_1$ y $ A_2B_2C_2$ tienen un centroide común. Demostrar que los conjuntos $ [A_1,B_1]\cap [A_2B_2], [B_1C_1]\cap[B_2C_2], [C_1A_1]\cap [C_2A_2]$ no están vacíos.

Sea $ n$ un entero positivo y sean $ a_i$ números reales, $ i = 1,2,\ldots,n$ tales que $ |a_i|\leq 1$ y $ \sum_{i=1}^n a_i = 0$. Demostrar que $ \sum_{i=1}^n |x - a_i|\leq n$, para cada $ x\in \mathbb{R}$ con $ |x|\le 1$.

a) Demostrar que \[ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{2^{2n}} > n, \] para todos los enteros positivos $ n$.\nb) Demostrar que para cada entero positivo $ n$ tenemos $ \min\left\{ k \in \mathbb{Z}, k\geq 2 \mid \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{k}>n \right\} > 2^n$.

Hallar funciones $ f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$, tales que $ f(x^2 + f(y)) = xf(x) + y$, para $ x,y \in \mathbb{N}$.