Sea $ f:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}_+^* $ una función Riemann-integrable. Calcula $ \lim_{n\to\infty}\left(-n+\sum_{i=1}^ne^{\frac{1}{n}\cdot f\left(\frac{i}{n}\right)}\right) . $

Sea una función $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ tal que: $ \text{(i)}\quad f(0)=0 $ $ \text{(ii)}\quad f'(x)\neq 0,\quad\forall x\in\mathbb{R} $ $ \text{(iii)}\quad \left. f''\right|_{\mathbb{R}}\text{ existe y es continua} $\nDemuestra que la función $ g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ definida como $$ g(x)=\left\{\begin{matrix}\cos\frac{1}{f(x)},\quad x\neq 0\\ 0,\quad x=0\end{matrix}\right. $$ es primitivable.

Define el operador ' $ * $ ' en $ \mathbb{R} $ como $ x*y=x+y+xy. $\nMuestra que $ \mathbb{R}\setminus\{ -1\} , $ junto con el operador anterior, es isomorfo con $ \mathbb{R}\setminus\{ 0\} , $ con la multiplicación usual.\nDetermina todos los semigrupos finitos de $ \mathbb{R} $ bajo ' $ *. $ ' ¿Cuáles de ellos son grupos?\nPrueba que si $ H\subset_{*}\mathbb{R} $ es un semigrupo acotado, entonces $ H\subset [-2, 0]. $

Problema bien conocido

Sean dos números naturales distintos $ k_1 $ y $ k_2 $ y una sucesión $ \left( x_n \right)_{n\ge 0} $ que satisface $$ x_nx_m +k_1k_2\le k_1x_n +k_2x_m,\quad\forall m,n\in\{ 0\}\cup\mathbb{N}. $$ Calcula $ \lim_{n\to\infty}\frac{n!\cdot (-1)^{1+n}\cdot x_n^2}{n^n} . $

Calcula el determinante de la matriz compleja $ n\times n $ $ \left(a_j^i\right)_{1\le j\le n}^{1\le i\le n} $ definida por $$ a_j^i=\left\{\begin{matrix} 1+x^2,\quad i=j\\x,\quad |i-j|=1\\0,\quad |i-j|\ge 2\end{matrix}\right. , $$ donde $ n $ es un número natural mayor que $ 2. $

Resuelve en el conjunto de las matrices enteras de $ 2\times 2 $ la ecuación $$ X^2-4\cdot X+4\cdot\left(\begin{matrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}7\quad 8\\12\quad 31\end{matrix}\right) . $$

Considera la pirámide $ VABCD, $ donde $ V $ es la cima y $ ABCD $ es una base rectangular. Si $ \angle BVD = \angle AVC, $ entonces prueba que los triángulos $ VAC $ y $ VBD $ comparten el mismo perímetro y área.

Sea $ \alpha $ un plano y sea $ ABC $ un triángulo equilátero situado en un plano paralelo cuya distancia desde $ \alpha $ es $ h. $ Encuentra el lugar geométrico de los puntos $ M\in\alpha $ para los cuales $$ \left|MA\right| ^2 +h^2 = \left|MB\right|^2 +\left|MC\right|^2. $$

Sean $ z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C} $ tales que $\text{(i)}\quad \left|z_1\right| = \left|z_2\right| = \left|z_3\right| = 1$ $\text{(ii)}\quad z_1+z_2+z_3\neq 0 $ $\text{(iii)}\quad z_1^2 +z_2^2+z_3^2 =0. $ Demuestra que $ \left| z_1^3+z_2^3+z_3^3\right| = 1. $