Sea $\{a_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión con $a_1=1$ , $a_2=4$ y para todo $n>1$ , \[ a_{n} = \sqrt{ a_{n-1}a_{n+1} + 1 } . \] a) Demuestre que todos los términos de la sucesión son enteros positivos. b) Demuestre que $2a_na_{n+1}+1$ es un cuadrado perfecto para todo entero positivo $n$ .

Suponga que $(f_n)_{n\in N}$ es la secuencia de todas las funciones $f_n:[0,1]\rightarrow \mathbb{R^+}$ tal que $f_0$ es la función continua y $\forall x\in [0,1] , \forall n\in \mathbb {N} , f_{n+1}(x)=\int_0^x \frac {1}{1+f_n (t)}dt$ . Pruebe que para cada $x\in [0,1]$ la secuencia de $(f_n(x))_{n\in N}$ es la secuencia convergente y calcule la limitación.

Pruebe que: $\int_{-1}^1f^2(x)dx\ge \frac 1 2 (\int_{-1}^1f(x)dx)^2 +\frac 3 2(\int_{-1}^1xf(x)dx)^2$ Por favor, dé una prueba sin usar funciones pares e impares. (la prueba oficial usa esas y parece ser poco natural) :D

Sean dos funciones biyectivas y continuas $f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que : $\left(f\circ g^{-1}\right)(x)+\left(g\circ f^{-1}\right)(x)=2x$ para cualquier real $x$ . Muestre que si tenemos un valor $x_{0}\in\mathbb{R}$ tal que $f(x_{0})=g(x_{0})$ , entonces $f=g$ .

Suponga que $n\geq 3$ es un número entero y $x\in \mathbb{R}$ tal que $x,x^2$ y $x^n$ tienen la misma representación decimal. Pruebe que $x$ es un número entero.

función $f:\mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}^{\star}$ ( $\mathbb{N}^{\star}=\mathbb{N}\cup \{0\}$ ) con estas condiciones: 1- $f(0,x)=x+1$ 2- $f(x+1,0)=f(x,1)$ 3- $f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$ encuentre $f(3,1997)$

Suponga que $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ y $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ tal que $f(2)+f(5)<7<f(3)+f(4)$ . Pruebe que existe $u,v\in\mathbb{R}$ tal que $u+v=7 , f(u)+f(v)=7$

Sean $C_1,C_2,..., C_n$ , $(n\ge 3)$ círculos que tienen un punto común $M$ . Tres líneas rectas que pasan por $M$ intersecan nuevamente los círculos en $A_1, A_2,..., A_n$ ; $B_1,B_2,..., B_n$ y $X_1,X_2,..., X_n$ respectivamente. Pruebe que si $$A_1A_2 =A_2A_3 =...=A_{n-1}A_n$$ y $$B_1B_2 =B_2B_3 =...=B_{n-1}B_n$$ entonces $$X_1X_2 =X_2X_3 =...=X_{n-1}X_n.$$

Sea $S$ un punto fuera del plano del paralelogramo $ABCD$ , tal que los triángulos $SAB$ , $SBC$ , $SCD$ y $SAD$ son equivalentes.\na) Pruebe que $ABCD$ es un rombo.\nb) Si la distancia de $S$ al plano $(A, B, C, D)$ es $12$ , $BD = 30$ y $AC = 40$ , calcule la distancia de la proyección del punto $S$ en el plano $(A, B, C, D)$ al plano $(S,B,C)$ .

$ABCDA'B'CD'$ es un paralelepípedo rectangular con $AA'= 2AB = 8a$ , $E$ es el punto medio de $(AB)$ y $M$ es el punto de $(DD')$ para el cual $DM = a \left( 1 + \frac{AD}{AC}\right)$ . \na) Encuentre la posición del punto. $F$ en el segmento $(AA')$ para el cual la suma $CF + FM$ tiene el valor mínimo posible.\nb) Tomando $F$ como arriba, calcule la medida del ángulo de los planos $(D, E, F)$ y $(D, B', C')$ . \nc) Sabiendo que las líneas rectas $AC'$ y $FD$ son perpendiculares, calcule el volumen del paralelepípedo $ABCDA'B'C'D'$ .