Para todos los reales positivos $x,y,z$ con $xyz=1$ pruebe: \[ \frac{x^9+y^9}{x^6+x^3y^3+y^6}+\frac{y^9+z^9}{y^6+y^3z^3+z^6}+\frac{z^9+x^9}{z^6+z^3x^3+x^6}\geq 2 \]

Sea $k$ un número entero y $P(X)$ el polinomio $$P(X) = X^{1997}-X^{1995} +X^2-3kX+3k+1$$ Pruebe que: a) el polinomio no tiene raíz entera; β) los números $P(n)$ y $P(n) + 3$ son primos relativos, para cada entero $n$ .

El cuadrilátero $ABCD$ tiene dos lados paralelos. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $[DC]$ y $[BC]$ , y $P$ el punto común de las líneas $AM$ y $DN$ . Si $\frac{PM}{AP}=\frac{1}{4}$ , pruebe que $ABCD$ es un paralelogramo.

El triángulo $ABC$ tiene $\angle ACB = 30^o$ , $BC = 4$ cm y $AB = 3$ cm . Calcule las alturas del triángulo.

Sea $a \ne 0$ un número natural. Pruebe que $a$ es un cuadrado perfecto si y sólo si para cada $b \in N^*$ existe $c \in N^*$ tal que $a + bc$ es un cuadrado perfecto.

Sea $n_1 = \overline{abcabc}$ y $n_2= \overline{d00d}$ números representados en el sistema decimal, con $a\ne 0$ y $d \ne 0$ . \na) Pruebe que $\sqrt{n_1}$ no puede ser un entero.\nb) Encuentre todos los enteros positivos $n_1$ y $n_2$ tales que $\sqrt{n_1+n_2}$ sea un número entero.\nc) De todos los pares $(n_1,n_2)$ tales que $\sqrt{n_1 n_2}$ es un entero, encuentre aquellos para los cuales $\sqrt{n_1 n_2}$ tiene el mayor valor posible

Sea $ABC$ un triángulo agudo con $\angle B > \angle C$ . En el círculo $\mathcal{C}(O, R)$ circunscrito a este triángulo se eligen puntos $D, E, J, K, S$ tales que $A, E, J$ y $K$ están en el mismo lado de la línea $BC$ , el diámetro $DE$ es perpendicular a la cuerda $BC$ , $S\in \overarc{EK},\overarc{AE}=\overarc{BJ}=\overarc{CK}=\dfrac{1}{4}\overarc{CE}$ . Sea $\{F\}=AC\cap DE, \{M\}=BK\cap AD, \{P\}=BK\cap AC$ y $\{Q\}=CJ\cap BF$ . Si $\angle SMK =30^{\circ}$ y $\angle AQP = 90^{\circ}$ , demuestre que la línea $MS$ es tangente al círculo circunscrito del triángulo $AOF$.

Considere una cuadrícula con $n{}$ líneas y $m{}$ columnas $(n,m\in\mathbb{N},m,n\ge2)$ hecha de $n\cdot m \; 1\times1$ cuadrados llamados ${celdas}$ . Una ${serpiente}$ es una secuencia de celdas con las siguientes propiedades: la primera celda está en la primera línea de la cuadrícula y la última celda está en la última línea de la cuadrícula, comenzando con la segunda celda cada una tiene un lado en común con la celda anterior y no está por encima de la celda anterior. Defina la ${longitud}$ de una serpiente como el número de celdas de las que está hecha. Encuentre la media aritmética de las longitudes de todas las serpientes de la cuadrícula.

Suponga que $a, b,$ y $c$ son números reales positivos tales que $$a + b + c \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.$$ Encuentre el mayor valor posible de la expresión $$\frac{a + b - c}{a^3 + b^3 + abc} + \frac{b + c - a}{b^3 + c^3 + abc} + \frac{c + a - b}{c^3 + a^3 + abc}.$$

Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos distintos con la misma paridad. Demuestre que la fracción $\frac{a!+b!}{2^a}$ no es un entero.