a) Demuestra que para $x,y \ge 1$ , se cumple $$x+y - \frac{1}{x}- \frac{1}{y} \ge 2\sqrt{xy} -\frac{2}{\sqrt{xy}}$$\nb) Demuestra que para $a,b,c,d \ge 1$ con $abcd=16$ , se cumple $$a+b+c+d-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}-\frac{1}{d}\ge 6$$

El cubo $ABCDA' B' C' D' $ tiene longitud a. Considera los puntos $K \in [AB], L \in [CC' ], M \in [D'A']$ . a) Mostrar que $\sqrt3 KL \ge KB + BC + CL$ b) Mostrar que el perímetro del triángulo $KLM$ es estrictamente mayor que $2a\sqrt3$ .

Sea $ A $ un anillo, $ a\in A, $ y sean $ n,k\ge 2 $ dos números naturales tales que $ n\vdots\text{char} (A) $ y $ 1+a=a^k. $ Mostrar que las siguientes proposiciones son verdaderas: a) $ \forall s\in\mathbb{N}\quad \exists p_0,p_1,\ldots ,p_{k-1}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}\quad a^s=\sum_{i=0}^{k-1} p_ia^{i} . $ b) $ \text{ord} (a)\neq\infty . $

Sea una función continua y periódica $ f:\mathbb{R}\longrightarrow [0,\infty ) $ de período $ 1. $ Mostrar: a) $ a\in\mathbb{R}\implies\int_a^{a+1} f(x)dx =\int_0^1 f(x) dx . $ b) $ \lim_{n\to\infty} \int_0^1 f(x)f(nx) dx=\left( \int_0^1 f(x) dx \right)^2 . $

a) Calcular $ \lim_{n\to\infty} \int_0^{\alpha } \ln \left( 1+x+x^2+\cdots +x^{n-1} \right) dx , $ para todo $ \alpha\in (0,1) . $ b) Calcular $ \lim_{n\to\infty} \int_0^{1 } \ln \left( 1+x+x^2+\cdots +x^{n-1} \right) dx . $

a) Mostrar que, para cualquier número natural distinto $ m,n, $ los anillos $ \mathbb{Z}_2\times \underbrace{\cdots}_{m\text{ veces}} \times\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}_2\times \underbrace{\cdots}_{n\text{ veces}} \times\mathbb{Z}_2 $ son homomorfos, pero no isomorfos. b) Mostrar que hay infinitos anillos por pares no homomorfos del mismo orden.

Encontrar el número de representaciones del número $180$ en la forma $180 =x+y+z$ , donde $x, y, z$ son enteros positivos que son proporcionales con algunos tres enteros positivos consecutivos.

Sea un cuadrilátero convexo $ ABCD. $ En la extensión de la semirrecta de $ AB $ en la dirección de $ B, $ pon $ A_1 $ tal que $ AB=BA_1. $ Similarmente, define $ B_1,C_1,D_1, $ para los otros tres lados. a) Si $ E,E_1,F,F_1 $ son los puntos medios de $ BC,A_1B_1,AD $ respectivamente, $ C_1,D_1, $ demuestra que $ EE_1=FF_1. $ b) Borra todo, excepto $ A_1,B_1,C_1,D_1. $ Ahora, encuentra una manera de construir el cuadrilátero inicial.

Considera el conjunto $ \mathcal{M}=\left\{ \gcd(2n+3m+13,3n+5m+1,6n+6m-1) | m,n\in\mathbb{N} \right\} . $ Demuestra que existe un número natural $ k $ tal que el conjunto de sus divisores positivos es $ \mathcal{M} . $

Encuentra el número de cuadrados perfectos de cinco dígitos cuyos dos últimos dígitos son iguales.