Si $a,b,c>0$ entonces $$\frac{1}{abc}+1\ge3\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a+b+c}\right)$$

Demuestra que el número de soluciones en $ \left( \mathbb{N}\cup\{ 0 \} \right)\times \left( \mathbb{N}\cup\{ 0 \} \right)\times \left( \mathbb{N}\cup\{ 0 \} \right) $ de la ecuación paramétrica $$ \sqrt{x^2+y+n}+\sqrt{y^2+x+n} = z, $$ es mayor que cero y finito, para cualquier número natural $ n. $

Encuentra todos los números naturales que son el cardinal de un conjunto de vectores euclidianos no nulos cuya suma es $ 0, $ la suma de dos cualesquiera de ellos es no nula, y sus magnitudes son iguales.

Encuentra los números naturales $x, y, z$ que verifican la ecuación: $$2^x + 3 \cdot 11^y =7^z$$

En el prisma hexagonal regular $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ , construimos $Q$ , las proyecciones del punto $A$ en las líneas $A_1B$ y $A_1C$ respectivamente. Construimos $R,S$ , las proyecciones del punto $D_1$ en las líneas $A_1D$ y $C_1D$ respectivamente.\na) Determina la medida del ángulo entre los planos $(AQP)$ y $(D_1RS)$ .\nb) Demuestra que $\angle AQP = \angle D_1RS$ .

Si $a,b,c\in(0,\infty)$ tal que $a+b+c=3$ , entonces $$\frac{a}{3a+bc+12}+\frac{b}{3b+ca+12}+\frac{c}{3c+ab+12}\le \frac{3}{16}$$

Considera $A$ , el conjunto de números naturales con exactamente $2019$ divisores naturales , y para cada $n \in A$ , denota $$S_n=\frac{1}{d_1+\sqrt{n}}+\frac{1}{d_2+\sqrt{n}}+...+\frac{1}{d_{2019}+\sqrt{n}}$$ donde $d_1,d_2, .., d_{2019}$ son los divisores naturales de $n$ . Determina el valor máximo de $S_n$ cuando $n$ recorre el conjunto $ A$ .

Una pieza de papel rectangular de $20 \times 19$ , dividida en cuatro unidades, se corta en varias piezas cuadradas, los cortes se realizan a lo largo de los lados de los cuadrados unitarios. Dicha pieza cuadrada se denomina cuadrado impar si la longitud de su lado es un número impar.\na) ¿Cuál es el número mínimo posible de cuadrados impares?\nb) ¿Cuál es el valor más pequeño que puede tomar la suma de los perímetros de los cuadrados impares?

Sea $ABC$ un triángulo en el que $\angle ABC = 45^o$ y $\angle BAC > 90^o$ . Sea $O$ el punto medio del lado $[BC]$ . Considera el punto $M \in (AC)$ tal que $\angle COM =\angle CAB$ . La perpendicular desde $M$ sobre $AC$ intersecta la línea $AB$ en el punto $P$ .\na) Encuentra la medida del ángulo $\angle BCP$ .\nb) Demuestra que si $\angle BAC = 105^o$ , entonces $PB = 2MO$ .

Sea $ABCD$ un cuadrado y $E$ un punto en el lado $(CD)$ . Los cuadrados $ENMA$ y $EBQP$ se construyen fuera del triángulo $ABE$ . Demuestra que: a) $ND = PC$ b) $ND\perp PC$ .