Encuentra una relación entre los ángulos de un triángulo tal que este pueda ser separado en dos triángulos isósceles por una línea.

Sean tres discos $ D_1,D_2,D_3. $ Para cada $ i,j\in\{1,2,3\} , $ denota $ a_{ij} $ como el área de $ D_i\cap D_j. $ Si $ x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R} $ tales que $ x_1x_2x_3\neq 0, $ entonces $$ a_{11} x_1^2+a_{22} x_2^2+a_{33} x_3^2+2a_{12} x_1x_2+2a_{23 }x_2x_3+2a_{31} x_3x_1>0. $$

Sea un subconjunto del intervalo $ (0,1) $ que contiene a $ 1/2 $ y tiene la propiedad de que si un número está en este subconjunto, entonces, tanto su mitad como la inversa de su sucesor están en el mismo subconjunto. Demuestra que este subconjunto contiene todos los números racionales del intervalo $ (0,1). $

Considera, en un plano, el triángulo $ ABC, $ vectores $ \vec x,\vec y,\vec z, $ variable real $ \lambda >0 $ y $ M,N,P $ tales que $$ \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AM}=\lambda\cdot\vec x\\\overrightarrow{AN}=\lambda\cdot\vec y \\\overrightarrow{AP}=\lambda\cdot\vec z \end{matrix}\right. . $$ Encuentra el lugar geométrico del centro de masa de $ MNP. $

Sea un número natural $ n. $ Demuestra que existe un polinomio $ P\in\mathbb{Z} [X,Y] $ tal que $ a+b+c=0 $ implica $$ a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=abc\left( P(a,b)+P(b,c)+P(c,a)\right) $$

Sean $ f,F:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ dos funciones tales que $ f $ es no decreciente, $ F $ admite derivadas laterales finitas en cada punto de su dominio, $$ \lim_{x\to y^-} f(x)\le\lim_{x\to y^-}\frac{F(x)-F\left( y \right)}{x-y} ,\lim_{x\to y^+} f(x)\ge\lim_{x\to y^+}\frac{F(x)-F\left( y \right)}{x-y} , $$ para todos los números reales $ y, $ y $ F(0)=0. $ Demuestra que $ F(x)=\int_0^x f(t)dt, $ para todos los números reales $ x. $

La ecuación $ x^{n+1} +x=0 $ admite $ 0 $ y $ 1 $ como sus únicas soluciones en un anillo de orden $ n\ge 2. $ Demuestra que este anillo es un campo oblicuo.

Sea una función continua $ f:[0,1]\longrightarrow\left( 0,\infty \right) $ que tiene la propiedad de que, para cualquier número natural $ n\ge 2, $ existen $ n-1 $ números reales $ 0<t_1<t_2<\cdots <t_{n-1}<1, $ tales que $$ \int_0^{t_1} f(t)dt=\int_{t_1}^{t_2} f(t)dt=\int_{t_2}^{t_3} f(t)dt=\cdots =\int_{t_{n-2}}^{t_{n-1}} f(t)dt=\int_{t_{n-1}}^{1} f(t)dt. $$ Calcula $ \lim_{n\to\infty } \frac{n}{\frac{1}{f(0)} +\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{f\left( t_i \right)} +\frac{1}{f(1)}} . $

Demuestra que un anillo que tiene una característica prima admite elementos nilpotentes no nulos si y sólo si su característica divide el número de sus unidades.

Sean $A\, ,\, B\in\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ tales que : $A^2+B^2=2AB$ . a) Demuestra que : $AB=BA$ . b) Demuestra que : $\text{tr}\, (A)=\text{tr}\, (B)$ .