Sea $q$ un numero racional positivo. Dos hormigas empiezan en el punto $X$ en el plano. En cada minuto $n$, para $n=1,2,\ldots$ las hormigas se mueven en una de las direcciones norte, sur, este u oeste, y caminan por $q^n$ metros. Despues de algun numero de minutos, las hormigas estan en el mismo punto, pero sabemos que no tomaron exactamente el mismo camino. Determina todos los valores posibles de $q$.

Encuentra todos los primos $p$ y $q$ tales que $3p^{q-1}+1$ divide a $11^p+17^p$.

Encuentra todas las funciones inyectivas $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que para todos los reales $x$ y enteros positivos $n$ se cumple, $$|\sum_{i=1}^n i(f(x+i+1)-f(f(x+i)))|<2016$$

Alice y Bob juegan el siguiente juego. El juego empieza con varios montones de monedas. Alice empizea y en cada turno los jugadores escojen un monton de monedas con un numero par de monedas y mueven la mitad de las monedas a otro monton. El juego termina cuando un jugador no puede mover. Determina las parejas de enteros positivos $(a,b)$ tales que si el juego empieza con dos montones con $a$ y $b$ monedas, Bob tiene una estrategia ganadora.

Una cuadricula consiste de puntos de la forma $(m,n)$ con $|m|, |n|\leq 2019$ y $|m|+|n|<4038$. Llamamos los puntos de la cuadricula con $|m|=2019$ o $|n|=2019$ los puntos del perimetro. Las $4$ lineas $x=\pm 2019$ y $y=\pm 2019$ son las lineas del perimetro. Dos puntos en la cuadricula son vecinos si la distancia entre ellos es $1$. Ana y Bob juegan un juego en esta cuadricula. Ana empieza con una ficha en $(0,0)$. Despues toman turnos, donde Bob empieza. 1) En el turno de Bob, el borra a lo mucho $2$ puntos del perimetro. 2) Ana mueve su ficha exactamente tres pasos, cada paso consiste en mover la ficha a puntos vecinos que no han sido borrados. Si Ana logra poner su ficha en un punto del perimetro que no ha sido borrado el juego termina y Ana gana. Tendra Ana una estrategia ganadora?

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $AB<AC$ y $\omega$ su circuncirculo. Sean $t_B$ y $t_C$ las tangentes a $\omega$ en $B$ y $C$ respectivamente y sea $L$ la interseccion de las dos tangentes. La paralela a $AC$ por $B$ corta a $t_C$ en $D$ y la paralela a $AB$ por $C$ corta a $t_B$ en $E$. El circuncirculo de $BDC$ corta a $AC$ en $T$, con $T$ entre $A$ y $C$. El circuncirculo de $BEC$ corta a $AB$ en $S$ con $B$ entre $S$ y $A$. Demuestra que $ST$, $AL$ y $BC$ concurren.

Sea $ABCD$ un cuadrilatero ciclico con $AB<CD$. LAs diagonales se cortan en el punto $F$ y las linea $AD$ y $BC$ se cortan en $E$. Sean $K$ y $L$ los pies de las perpendiculares de $F$ en $AD$ y $BC$ respectivamente. Sean $M,S$ y $T$ los puntos medios de $EF$, $CF$ y $DF$ respectivamente, Demuestra que el segundo punto de interseccion de los circuncirculos de $MKT$ y $MLS$ esta en $CD$.

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo y escaleno. Sea $X$ y $Y$ dos puntos del segmento $BC$ tales que $\angle CAX=\angle YAB$. Sean $K$ y $S$ los pies de las perpendiculares de $B$ a $AX$ y $AY$ respectivamente. Sean $T$ y $L$ los pies de las perpendiculares de $C$ a $AX$ y $AY$ respectivamente. Demuestra que $KL,ST$ y $BC$ concurren.

Sea $\mathbb{P}$ el conjunto de numeros primos. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{P}\to \mathbb{P}$ tales que para todo $p,q\in \mathbb{P}$: $$f(p)^{f(q)}+q^p=f(q)^{f(p)}+p^q$$

Sea $ABC$ un triangulo escaleno con incentro $I$ y circuncirculo $\omega$, Las lineas $AI,BI,CI$ intersecan a $\omega$ en $D,E,F$ respectivamente. Las paralelas a $BC,AC,AB$ por $I$ cortan a $EF,DF,DE$ en $K,L,M$ respectivamente. Demuestra que $K,L,M$ son colineales.