Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $AB=AC$, sea $D$ el punto medio de $AC$ y $\gamma$ el circuncirculo de $ABD$. La tangente a $\gamma$ por $A$ corta a $BC$ en $E$. Sea $O$ el circuncentro del triangulo $ABE$. Demuestra que el punto medio de $AO$ esta en $\gamma$.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+$ tales que para todo $n,m\in \mathbb{Z}^+$: $$n+f(m)\mid f(n)+nf(m).$$

Sea $n\geq 3$ un entero impar, considera una cuadricula de $n\times n$ que consiste de $n^2$ celdas unitarias. Primero, Dinoisio colorea cada celda de rojo o azul. Se sabe que una rana puede saltar de una celda a otra si y solo si las dos celdas son del mismo color y comparten al menos un vertice. Luego, Xanthias ve la coloracion que deja Dionisio y pone $k$ ranas de manera que cada celda pueda ser visitada por almenos una rana. Encuentra el menor entero $k$ de manera que no importa que haga Dionisio, Xanthias puede acomodar las ranas de tal manera.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(x,y)$ tales que: $$x^3+y^3=x^2+42xy+y^2.$$

Sea $k$ un entero positivo. Determina el menor entero $n$, con $n\geq k+1$ para el cual el siguiente juego se puede jugar indefinidamente: Tenemos $n$ cajas, $b_1,b_2,\ldots, b_n$. Para cada entero $i$ $b_i$ contiene exactamente $i$ monedas. En cada paso de performan las siguientes $3$ acciones: (1) Se escogen $k+1$ cajas. (2) De estas cajas se escojen $k$, se toman al menos la mitad de monedas de cada caja. En la caja restante $b_j$ se añaden $j$ monedas. (3) Cuando una caja esta vacia el juego termina.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+$ tales que para cada entero $n$ se tiene: $$i) \sum_{k=1}^n f(k) \text{ es un cuadrado perfecto y}$$ $$ii) f(n)\mid n^3$$

En una mesa circular se sientan $n>2$ estudiantes. Al principio, cada estudiante tiene exactamente un dulce. En cada paso, cada estudiante hace una de las siguientes acciones: (A) Da un dulce al estudiante a su derecha o al de su izquierda. (B) Separa sus dulces en $2$ partes, posiblemente vacios, y da una de las dos partes al estudiante a su izquierda y el otro al que esta a su derecha. En cada paso todos los estudiantes actuan al mismo tiempo. Una configuracion de dulces se dice legitima si puede lograrse despues de un numero finito de pasos. Encuentra la cantidad de configuraciones legitimas.

Ángel tiene una bodega que tiene $100$ montones con $100$ pedazos de basura cada una. Cada mañana, Ángel hace exactamente una de los siguientes acciones: (a) Quita todos los pedazos de basura de una monton. (b) Quita un pedazo de basura de cada monton. Sin embargo, cada noche, un demonio se infiltra en su bodega y hace uno de las siguientes acciones: (i) Añade un pedazo de basura a cada monton (no vacio). (ii) Crea un nuevo monton de basura con un pedazo de basura. Cuantas mañanas necesita Ángel para garantizar que limpió toda la bodega.

Encuentra todos los polinomios monicos $f$ con coeficientes enteros que cumplan que: Existe un entero positivo $N$ tal que $p\mid 2(f(p)!)+1$ para todo primo $p>N$ y donde $f(p)$ es un entero positivo.

Un cuadrilatero $ABCD$ esta inscrito en un circulo $k$ tal que $AB>CD$, y donde $AB$ no es paralelo a $CD$. Sea $M$ el punto de interseccion de las diagonales $AC$ y $BD$. La perpendicular desde $M$ a $AB$ corta a $AB$ en $E$. Si $EM$ es la bisectriz del angulo $\angle CED$ demuestra que $AB$ es el diametro de $k$.