Sea $n$ un entero positivo. Un hexagono regular de lado $n$ se divide en triangulos equilateros de lado $1$ con lados paralelos a los lados del hexagono. Encuentra el numero de hexagonos regulares que tienen sus vertices en los vertices de los triangulos equilateros que se formaron.

Sean $a,b$ y $c$ reales positivos. Demuestra que \n$$a^3b^6+b^3c^6+c^3a^6+3a^3b^3c^3\geq abc(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)+a^2b^2c^2(a^3+b^3+c^3)$$

Demuestra que entre cualesquiera $20$ enteros positivos, existe un entero $d$ tal que para todo entero $n$ se cumple: $$n\sqrt{d}\{n\sqrt{d}\}>\frac{5}{2}$$ donde $\{x\}$ es la parte fraccionaria de $x$.

Sean $x,y$ y $z$ reales positivos tales que $xy+yz+zx=3xyz$. Demuestra la siguiente desigualdad y encuentra cuando se da la igualdad: \n$$x^2y+y^2z+z^2x\geq 2(x+y+z)-3$$

Un comite de $3366$ criticos de cine estan votando para los Oscars. Cada critico voto por un actor y una actriz. Despues de la votacion se vio que para cada entero $1\leq n\leq 100$ existe un actor o una actriz con exactamente $n$ votos. Demuestra que existen dos criticos que votaron por el mismo actor y actriz.

El plano se divide en una cuadricula de cuadrados unitarios. Cada cuadrado unitario se colorea con uno de $1201$ colores de manera que ningun cuadrado de perimetro $100$ contiene $2$ cuadrados del mismo color. Demuestra que ningun rectangulo de tamaño $1\times 1201$ o $1201\times 1$ tiene dos cuadrados del mismo color.

Decimos que un entero positivo $n$ es especial si existen enteros positivos $a,b,c,d$ tales que $$n=\frac{a^3+2b^3}{c^3+2d^3}.$$ Demuestra que i) Existen una cantidad infinita de enteros especiales. ii) $2014$ no es un entero especial.

Sea $ABCD$ un trapecio inscrito en el circulo $\Gamma$ con diametro $AB$. Sea $E$ la interseccion de las diagonales $AC$ y $BD$. El circulo con centro $B$ y radio $BE$ corta a $\Gamma$ en $K$ y $L$ ($K$ del mismo lado de $AB$ que $C$). La perpendicular a $BD$ por $E$ corta a $CD$ en $M$. Demuestra que $KM$ es perpendicular a $DL$.

Sea $ABC$ un triangulo con $\omega_A$ su excirculo opuesto a $A$. $\omega_A$ es tangente a $AB$ en $P$ y $AC$ en $Q$. El excirculo opuesto a $B$, $\omega_B$, es tangente a $BA$ en $M$ y $BC$ en $N$. Sea $K$ el pie de la perpendicular desde $C$ a $MN$ y sea $L$ el pie de la perpendicular de $C$ a $PQ$. Demuestra que el cuadrilatero $MKLP$ es ciclico.

Demuestra que para todos los reales positivos $x,y,z$ se cumple:\n$$\sum_{cyc} (x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}\geq 4(xy+yz+zx).$$