Sea $ABC$ un triángulo, y sean $\ell_1$ y $\ell_2$ dos líneas paralelas. Para $i = 1, 2$, la linea $\ell_i$ interseca a las líneas $BC$, $CA$ y $AB$ en $X_i$, $Y_i$ y $Z_i$, respectivamente. Supongamos que la línea a través de $X_i$ perpendicular a $BC$, la línea a través de $Y_i$ perpendicular a $CA$, y finalmente la línea a través de $Z_i$ perpendicular a $AB$, determinan un triángulo no degenerado $\triangle_i$. Demuestra que los circuncírculos de $\triangle_1$ y $\triangle_2$ son tangentes entre sí.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC > AB$, sea $O$ su circumcentro, y sea $D$ un punto en el segmento $BC$. La línea a través de $D$ perpendicular a $BC$ interseca las líneas $AO$, $AC$ y $AB$ en $W$, $X$ y $Y$, respectivamente. Los circuncírculos de los triángulos $AXY$ y $ABC$ se intersecan nuevamente en $Z\neq A$. Demuestra que si $OW = OD$, entonces $DZ$ es tangente al círculo $AXY$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Supongamos que los puntos $Q$, $A$, $B$, $P$ son colineales en este orden, de tal manera que la línea $AC$ es tangente al círculo $ADQ$ y la línea $BD$ es tangente al círculo $BCP$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BC$ y $AD$, respectivamente. Demuestra que las siguientes tres líneas son concurrentes: la línea $CD$, la tangente del círculo $ANQ$ por $A$, y la tangente al círculo $BMP$ por $B$.

En el triángulo acutángulo $ABC$, el punto $F$ es el pie de la altura desde $A$, y $P$ es un punto en el segmento $AF$. Las líneas a través de $P$ paralelas a $AC$ y $AB$ se intersecan con $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Los puntos $X\neq A$ y $Y\neq A$ estan en los círculos $ABD$ y $ACE$, respectivamente, de manera que $DA = DX$ y $EA = EY$. Demuestra que $B$, $C$, $X$ y $Y$ son concíclicos.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC = DE$. Supongamos que hay un punto $T$ dentro de $ABCDE$ tal que $TB = TD$, $TC = TE$ y $\angle TBA = \angle AET$. Las líneas $CD$ y $CT$ intersecan a la línea $AB$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente, y las líneas $CD$ y $DT$ intersecan a la línea $AE$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Supongamos que los puntos $P$, $B$, $A$, $Q$ y $R$, $E$, $A$, $S$ son respectivamente colineales y están en ese orden. Demuestra que los puntos $P$, $S$, $Q$ y $R$ son concíclicos.

Sea $\mathbb{Z}_{\geq 0}$ el conjunto de enteros no negativos, y sea $f : \mathbb{Z}_{\geq 0} \times \mathbb{Z}_{\geq 0} \to \mathbb{Z}_{\geq 0}$ una biyección tal que cada vez que $f(x_1, y_1) > f(x_2, y_2)$, se cumple que $f(x_1 + 1, y_1) > f(x_2 + 1, y_2)$ y $f(x_1, y_1 + 1) >f(x_2, y_2 + 1)$. Sea $N$ el número de pares de enteros $(x, y)$, con $0 \leq x, y \leq 100$, tal que $f(x, y)$ es impar. Encuentra el valor más pequeño y más grande posible de $N$.

Alicia llena las casillas de un tablero de $n \times n$ con números del $1$ al $n^2$, usando cada número exactamente una vez. Luego cuenta el número total de "caminos buenos" en el tablero. Un camino bueno es una secuencia de casillas de longitud arbitraria (incluyendo $1$) tal que: (i) La primera casilla en la secuencia es una que solo es adyacente a casillas con números más grandes. (ii) Cada siguiente casilla en la secuencia es adyacente a la casilla anterior. (iii) Los números escritos en las casillas de la secuencia están en orden creciente. Dos casillas se consideran adyacentes si comparten un lado en común. Encuentra el mínimo numero posible de caminos buenos que Alicia puede obtener, en función de $n$.

Lucy comienza escribiendo $s$ $2022$-tuplas de valores enteros en un pizarrón. Después de hacer eso, puede tomar dos tuplas, posiblemente no distintas, $v = (v_1, \ldots, v_{2022})$ y $w = (w_1, \ldots, w_{2022})$ que ya haya escrito, y aplicar una de las siguientes operaciones para obtener una nueva tupla: \[ \begin{aligned} v + w &= (v_1 + w_1, \ldots, v_{2022} + w_{2022}) \\ v \ast w &= \left( \max(v_1, w_1), \ldots, \max(v_{2022}, w_{2022}) \right), \end{aligned} \] y luego escribir esta tupla en el pizarrón. Resulta que, de esta manera, Lucy puede escribir cualquier $2022$-tupla de valores enteros en el pizarrón después de un número finito de pasos. ¿Cuál es el número mínimo posible $s$ de tuplas que escribió inicialmente?

Sea $n$ un entero positivo. Comenzamos con $n$ pilas de piedras, cada una conteniendo inicialmente una sola piedra. Podemos realizar movimientos de la siguiente forma: elegir dos pilas, tomar el mismo número de piedras de cada pila y formar una nueva pila con estas piedras. Para cada entero positivo $n$, encuentra el número mínimo de pilas no vacías que se pueden obtener al realizar una secuencia finita de movimientos de esta forma.

Sean $m,n\geq 2$ enteros, y $X$ un conjunto con $n$ elementos, y sean $X_1, X_2, \ldots, X_m$ subconjuntos no vacíos distintos, no necesariamente disjuntos de $X$. Una función $f : X \to \{1, 2, \ldots, n + 1\}$ se llama bonita si existe un índice $k$ tal que \[ \sum_{x \in X_k} f(x) > \sum_{x \in X_i} f(x) \] para todo $i \neq k$. Demuestra que el número de funciones bonitas es al menos $n^n$.