Sea $n > 3$ un entero positivo. Supongamos que $n$ niños están en un círculo, y se distribuyen $n$ monedas entre ellos (algunos niños pueden no tener monedas). En cada paso, un niño con al menos $2$ monedas puede dar $1$ moneda a cada uno de sus vecinos inmediatos a la derecha e izquierda. Determina todas las distribuciones iniciales de monedas a partir de las cuales es posible que, después de un número finito de pasos, cada niño tenga exactamente una moneda.

En cada casilla de un jardín con forma de tablero de $2022 \times 2022$, hay inicialmente un árbol de altura $0$. Un jardinero y un leñador juegan alternadamente el siguiente juego, comenzando con el jardinero: - El jardinero elige una casilla en el jardín. Cada árbol en esa casilla y en todas las casillas circundantes (que son a lo mucho ocho) aumenta en una unidad su altura. - El leñador luego elige cuatro casillas diferentes en el tablero. Cada árbol con altura positiva en esas casillas disminuye en uno su altura. Decimos que un árbol es majestuoso si su altura es al menos $10^6$. Determina el mayor número $K$ tal que el jardinero puede asegurarse de que eventualmente haya $K$ árboles majestuosos en el tablero, sin importar cómo juegue el leñador.

El Banco de Oslo emite monedas hechas de dos tipos de metal: aluminio (denotado como A) y cobre (denotado como C). Morgana tiene $n$ monedas de aluminio y $n$ monedas de cobre, y las coloca en fila en un orden inicial arbitrario. Dado un entero positivo fijo $k \leq 2n$, realiza repetidamente la siguiente operación: identifica la subsecuencia más grande que contiene la $k$-ésima moneda desde la izquierda y que consiste en monedas consecutivas del mismo metal, y mueve todas las monedas en esa subsecuencia al extremo izquierdo de la fila. Por ejemplo, si $n = 4$ y $k = 4$, el proceso comenzando con la configuración $AACCCACA$ sería \[ AACCCACA \rightarrow CCCAAACA \rightarrow AAACCCCA \rightarrow CCCCAAAA \rightarrow \ldots \] Encuentra todos los pares $(n, k)$ con $1 \leq k \leq 2n$ tales que para cualquier configuración inicial, en algún punto del proceso habrá a lo mucho una moneda de aluminio adyacente a una moneda de cobre.

Una $\pm1$-secuencia es una secuencia $a_1, \ldots, a_{2022}$ donde cada número es igual a $\pm 1$. Determina el valor más grande de $C$ tal que, para cualquier $\pm1$-secuencia, existe un entero $k$ e índices $1 \leq t_1 < \cdots < t_k \leq 2022$ de manera que $t_{i+1} - t_i \leq 2$ para todo $i$, y \[ |\sum_{i=1}^{k} a_{t_i}| \geq C. \]

Para un entero positivo $n$, una secuencia $(a_0, a_1, \ldots, a_n)$ se llama una $n$-secuencia si satisface la siguiente condición: si $i$ y $j$ son enteros no negativos con $i + j \leq n$, entonces $a_i + a_j \leq n$ y $a_{a_i + a_j} = a_{i + j}$. Denotamos por $f(n)$ el número de $n$-secuencias. Demuestra que existen números reales positivos $c_1$, $c_2$ y $\lambda$ tales que $$c_1 \lambda^n < f(n) < c_2 \lambda^n$$ para todos los enteros positivos $n$.

Para un entero positivo $n$, denotamos por $s_p(n)$ la suma de los dígitos de $n$. Sea $P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0$ un polinomio, donde $n \geq 2$ y $a_i$ es un entero positivo para todo $0 \leq i \leq n - 1$. ¿Podría ser el caso que, para todos los enteros positivos $k$, se tiene que $s(k)$ y $s(P(k))$ tengan la misma paridad?

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de números reales. Denotamos por $\mathcal{F}$ al conjunto de todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$f(x + f(y)) = f(x) + f(y)$$ para cada $x, y \in \mathbb{R}$. Encuentra todos los números racionales $q$ tales que para cada función $f \in \mathcal{F}$, existe algún $z \in \mathbb{R}$ que satisface $f(z) = qz$.

Encuentra todos los enteros positivos $n \geq 2$ para los cuales existen $n$ números reales $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ y un número real $r > 0$ tal que las diferencias $a_j - a_i$ para $1 \leq i < j \leq n$ se pueden ordenar para que sean los números $r^1, r^2, \ldots, r^{\frac{n(n-1)}{2}}$.

Sea $n \geq 3$ un entero, y sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ números reales en el intervalo $[0, 1]$. Sea $s = x_1 + x_2 + \cdots + x_n$, y supón que $s \geq 3$. Demuestra que existen enteros $i$ y $j$ con $1 \leq i < j \leq n$ tales que $$2^{j - i} x_i x_j > 2^{s - 3}.$$

Sea $R^+$ el conjunto de números reales positivos. Encuentra todas las funciones $f : R^+ \to R^+$ tales que, para cada $x \in R^+$, existe un único $y \in R^+$ que satisface $$xf(y) + yf(x) \leq 2.$$