Lucy comienza escribiendo $s$ $2022$-tuplas de valores enteros en un pizarrón. Después de hacer eso, puede tomar dos tuplas, posiblemente no distintas, $v = (v_1, \ldots, v_{2022})$ y $w = (w_1, \ldots, w_{2022})$ que ya haya escrito, y aplicar una de las siguientes operaciones para obtener una nueva tupla: \[ \begin{aligned} v + w &= (v_1 + w_1, \ldots, v_{2022} + w_{2022}) \\ v \ast w &= \left( \max(v_1, w_1), \ldots, \max(v_{2022}, w_{2022}) \right), \end{aligned} \] y luego escribir esta tupla en el pizarrón. Resulta que, de esta manera, Lucy puede escribir cualquier $2022$-tupla de valores enteros en el pizarrón después de un número finito de pasos. ¿Cuál es el número mínimo posible $s$ de tuplas que escribió inicialmente?