Alicia llena las casillas de un tablero de $n \times n$ con números del $1$ al $n^2$, usando cada número exactamente una vez. Luego cuenta el número total de "caminos buenos" en el tablero. Un camino bueno es una secuencia de casillas de longitud arbitraria (incluyendo $1$) tal que: (i) La primera casilla en la secuencia es una que solo es adyacente a casillas con números más grandes. (ii) Cada siguiente casilla en la secuencia es adyacente a la casilla anterior. (iii) Los números escritos en las casillas de la secuencia están en orden creciente. Dos casillas se consideran adyacentes si comparten un lado en común. Encuentra el mínimo numero posible de caminos buenos que Alicia puede obtener, en función de $n$.