Sea $k$ un entero positivo y $S$ un conjunto finito de números primos impares. Demuestra que hay a lo mucho una forma (modulo rotación y reflexión) de colocar los elementos de $S$ alrededor de un círculo tal que el producto de cualquier par de vecinos sea de la forma $x^2 + x + k$ para algún entero positivo $x$.

Sea $Q$ un conjunto de números primos, no necesariamente finito. Para un entero positivo $n$, considera su factorización en números primos; define $p(n)$ como la suma de todos los exponentes y $q(n)$ como la suma de los exponentes correspondientes solo a los primos en $Q$. Un entero positivo $n$ se llama especial si $p(n) + p(n+1)$ y $q(n) + q(n+1)$ son ambos números pares. Demuestra que existe una constante $c > 0$ independiente del conjunto $Q$ tal que para cualquier entero positivo $N > 100$, el número de enteros especiales en el conjunto $\{1, 2, \ldots, N\}$ es al menos $cN$. (Por ejemplo, si $Q = \{3, 7\}$, entonces $p(42) = 3$, $q(42) = 2$, $p(63) = 3$, $q(63) = 3$, $p(2022) = 3$, $q(2022) = 1$.)

Para cada $1 \leq i \leq 9$ y $T \in \mathbb{N}$, define $d_i(T)$ como el número total de veces que aparece el dígito $i$ cuando se escriben todos los múltiplos de $1829$ entre $1$ y $T$ (inclusive) en base 10. Demuestra que existen infinitos $T \in \mathbb{N}$ para los cuales hay exactamente dos valores distintos entre $d_1(T)$, $d_2(T)$, ..., $d_9(T)$.

Encuentra todas las ternas de enteros positivos $a$, $b$ y $p$, donde $p$ es primo y \[ a^p = b! + p. \]

Sea $a>1$ un entero positivo, y sea $d>1$ un entero positivo coprimo con $a$. Define $x_1 = 1$ y, para $k \geq 1$, define \[ x_{k+1} = \begin{cases} x_k + d & \text{si } a \text{ no divide } x_k, \\ \frac{x_k}{ a} & \text{si } a \text{ divide } x_k. \end{cases} \] Encuentra el entero positivo más grande $n$ para el cual existe un índice $k$ tal que $x_k$ es divisible por $a^n$.

Encuentra todos los enteros positivos $n>2$ ales que \[ n! \mid \prod_{\substack{p<q\leq n\\ p,q \text{ primos}}} (p+q) .\]

Un número se llama noruego si tres de sus divisores positivos distintos suman $2022$. Determina el número noruego más pequeño.

$AA'BCC'B'$ es un hexágono convexo cíclico tal que $AC$ es tangente a la incírculo del triángulo $A'B'C'$, y $A'C'$ es tangente al incírculo del triángulo $ABC$. Las líneas $AB$ y $A'B'$ se intersecan en $X$ y las líneas $BC$ y $B'C'$ se intersecan en $Y$. Demuestra que si $XBYB'$ es un cuadrilátero convexo, entonces tiene un incírculo.

Sean $ABC$ y $A'B'C'$ dos triángulos con el mismo circuncírculo $\omega$ y el mismo ortocentro $H$. $\Omega$ es el circumcírculo del triángulo determinado por las líneas $AA'$, $BB'$ y $CC'$. Demuestra que $H$, el centro de $\omega$, y el centro de $\Omega$ son colineales.

En un triángulo acutángulo $ABC$, el punto $H$ es el pie de la altura desde $A$. Sea $P$ un punto móvil tal que las bisectrices $k$ y $\ell$ de los ángulos $PBC$ y $PCB$, respectivamente, se intersecan en el segmento $AH$. $k$ interseca a $AC$ en $E$, y $\ell$ interseca a $AB$ en $F$, y $EF$ interseca a $AH$ en $Q$. Demuestra que, mientras $P$ varía, la línea $PQ$ pasa por un punto fijo.