2 Cada punto blanco en la figura de abajo debe completarse con uno de los enteros $1, 2, ..., 9$, sin repeticiones, de tal manera que la suma de los tres números en el círculo externo sea igual a la suma de los cuatro números en cada círculo interno que no pertenecen al círculo externo. $(a)$ Demuestre una solución. $(b)$ Demuestre que, en cualquier solución, el número $9$ debe pertenecer al círculo externo.

3 Sea el incírculo del $\triangle ABC$ tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Sea $D'$ el punto diametralmente opuesto a $D$ con respecto al incírculo. Sean las rectas $AD'$ y $AD$ que intersecan al incírculo nuevamente en $X$ e $Y$, respectivamente. Demuestre que las rectas $DX$, $D'Y$ y $EF$ son concurrentes, es decir, que las rectas se intersecan en el mismo punto. (Kritesh Dhakal, Nepal)

23 Demuestre que para todo número natural $k$ ($k \geq 2$) existe un número irracional $r$ tal que para todo número natural $m$, \[[r^m] \equiv -1 \pmod k .\] Observación. Una variante más sencilla: Encuentre $r$ como una raíz de un polinomio de segundo grado con coeficientes enteros. Propuesto por Yugoslavia. Amir

3 Hay $2024$ matemáticos sentados en una fila junto al río Tisza. Cada uno de ellos trabaja exactamente en un tema de investigación y, si dos matemáticos trabajan en el mismo tema, todos los que están sentados entre ellos también trabajan en el mismo. Marvin intenta determinar, para cada par de matemáticos, si trabajan en el mismo tema. Se le permite hacer a cada matemático la siguiente pregunta: "¿Cuántos de estos $2024$ matemáticos trabajan en tu tema?". Él hace las preguntas una por una, por lo que conoce todas las respuestas anteriores antes de hacer la siguiente. Determine el entero positivo $k$ más pequeño tal que Marvin siempre pueda lograr su objetivo con un máximo de $k$ preguntas.

2 Encuentre los valores mínimo y máximo de $ S=\frac{a}{b}+\frac{c}{d} $ donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son enteros positivos que satisfacen $a + c = 20202$ y $b + d = 20200$ .

20 Sea $n\ge2$ un entero. Demuestre que si $k^2+k+n$ es primo para todo entero $k$ tal que $0\le k\le\sqrt{n\over3}$, entonces $k^2+k+n$ es primo para todo entero $k$ tal que $0\le k\le n-2$. (Problema 6 de la IMO) Formulación original: Sea $f(x) = x^2 + x + p$, $p \in \mathbb N$. Demuestre que si los números $f(0), f(1), \cdots , f(\sqrt{p\over 3} )$ son primos, entonces todos los números $f(0), f(1), \cdots , f(p - 2)$ son primos. Propuesto por la Unión Soviética. Amir

3 En un cuadrilátero convexo $ABCD$, $P$ y $Q$ son puntos en los lados $BC$ y $DC$ tales que $B\hat{A}P = D\hat{A}Q$. Si la recta que pasa por los ortocentros de $\triangle ABP$ y $\triangle ADQ$ es perpendicular a $AC$, demuestre que las áreas de estos triángulos son iguales.

1 Sea $ABC$ un triángulo y sea $D$ un punto en el segmento $BC$, $D\neq B$ y $D\neq C$. El círculo $ABD$ corta al segmento $AC$ nuevamente en un punto interior $E$. El círculo $ACD$ corta al segmento $AB$ nuevamente en un punto interior $F$. Sea $A'$ la reflexión de $A$ en la recta $BC$. Las rectas $A'C$ y $DE$ se cortan en $P$, y las rectas $A'B$ y $DF$ se cortan en $Q$. Demuestre que las rectas $AD$, $BP$ y $CQ$ son concurrentes (o todas paralelas).

2a Sección de problemas #2 a) Si $$ax+by=7$$ $$ax^2+by^2=49$$ $$ax^3+by^3=133$$ $$ax^4+by^4=406$$, encuentre el valor de $2014(x+y-xy)-100(a+b).$ khan.academy

1 Sean $r_2, r_3,\ldots, r_{1000}$ los residuos cuando un entero positivo impar se divide por $2,3,\ldots,1000$, respectivamente. Se sabe que los residuos son distintos entre sí y que uno de ellos es $0$. Encuentre todos los valores de $k$ para los cuales es posible que $r_k = 0$.