3 Hay $2024$ matemáticos sentados en una fila junto al río Tisza. Cada uno de ellos trabaja exactamente en un tema de investigación y, si dos matemáticos trabajan en el mismo tema, todos los que están sentados entre ellos también trabajan en el mismo. Marvin intenta determinar, para cada par de matemáticos, si trabajan en el mismo tema. Se le permite hacer a cada matemático la siguiente pregunta: "¿Cuántos de estos $2024$ matemáticos trabajan en tu tema?". Él hace las preguntas una por una, por lo que conoce todas las respuestas anteriores antes de hacer la siguiente. Determine el entero positivo $k$ más pequeño tal que Marvin siempre pueda lograr su objetivo con un máximo de $k$ preguntas.