22 ¿Existe una función $f : \mathbb N \to \mathbb N$ tal que $f(f(n)) = n + 1987$ para todo número natural $n$? (Problema 4 de la IMO) Propuesto por Vietnam. Amir

21 En un triángulo acutángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ corta a $BC$ en $L$ y corta nuevamente al circuncírculo de $ABC$ en $N$. Desde $L$ se trazan perpendiculares a $AB$ y $AC$, con pies en $K$ y $M$ respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $AKNM$ y el triángulo $ABC$ tienen áreas iguales. (Problema 2 de la IMO) Propuesto por la Unión Soviética. Amir

1 Sean $r_2, r_3,\ldots, r_{1000}$ los residuos cuando un entero positivo impar se divide por $2,3,\ldots,1000$, respectivamente. Se sabe que los residuos son distintos entre sí y que uno de ellos es $0$. Encuentre todos los valores de $k$ para los cuales es posible que $r_k = 0$.

2 Encuentre los valores mínimo y máximo de $ S=\frac{a}{b}+\frac{c}{d} $ donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son enteros positivos que satisfacen $a + c = 20202$ y $b + d = 20200$ .

20 Sea $n\ge2$ un entero. Demuestre que si $k^2+k+n$ es primo para todo entero $k$ tal que $0\le k\le\sqrt{n\over3}$, entonces $k^2+k+n$ es primo para todo entero $k$ tal que $0\le k\le n-2$. (Problema 6 de la IMO) Formulación original: Sea $f(x) = x^2 + x + p$, $p \in \mathbb N$. Demuestre que si los números $f(0), f(1), \cdots , f(\sqrt{p\over 3} )$ son primos, entonces todos los números $f(0), f(1), \cdots , f(p - 2)$ son primos. Propuesto por la Unión Soviética. Amir

19 Sean $\alpha,\beta,\gamma$ números reales positivos tales que $\alpha+\beta+\gamma < \pi$ , $\alpha+\beta > \gamma$ , $ \beta+\gamma > \alpha$ , $\gamma + \alpha > \beta.$ Demuestre que con los segmentos de longitudes $\sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma $ se puede construir un triángulo y que su área no es mayor que \[A=\dfrac 18\left( \sin 2\alpha+\sin 2\beta+ \sin 2\gamma \right).\] Propuesto por la Unión Soviética, Amir

18 Para cualquier entero $r \geq 1$, determine el entero más pequeño $h(r) \geq 1$ tal que para cualquier partición del conjunto $\{1, 2, \cdots, h(r)\}$ en $r$ clases, existan enteros $a \geq 0$ y $1 \leq x \leq y$ tales que $a + x$, $a + y$ y $a + x + y$ pertenezcan a la misma clase. Propuesto por Rumanía Amir

3 Alice y Bob juegan al siguiente juego. Para comenzar, Alice organiza los números $1,2,\ldots,n$ en algún orden en una fila y luego Bob elige uno de los números y coloca una piedra sobre él. El turno de un jugador consiste en recoger y colocar la piedra en un número adyacente bajo la restricción de que la piedra puede colocarse sobre el número $k$ como máximo $k$ veces. Los dos jugadores alternan turnos comenzando con Alice. El primer jugador que no pueda realizar un movimiento pierde. Para cada entero positivo $n$, determine quién tiene una estrategia ganadora.

17 Demuestre que existe una coloración con cuatro colores del conjunto $M = \{1, 2, \cdots, 1987\}$ tal que ninguna progresión aritmética de $10$ términos en el conjunto $M$ sea monocromática. Formulación alternativa: Sea $M = \{1, 2, \cdots, 1987\}$. Demuestre que existe una función $f : M \to \{1, 2, 3, 4\}$ que no es constante en ningún conjunto de $10$ términos de $M$ que formen una progresión aritmética. Propuesto por Rumania Amir

1 Considere dos sucesiones infinitas $a_0,a_1,a_2,\dots$ y $b_0,b_1,b_2,\dots$ de números reales tales que $a_0=0$, $b_0=0$ y \[a_{k+1}=b_k, \quad b_{k+1}=\frac{a_kb_k+a_k+1}{b_k+1}\] para cada entero $k \ge 0$. Demuestre que $a_{2024}+b_{2024} \ge 88$.