4 Sean $x$ e $y$ números reales positivos tales que: $x+y^{2016}\geq 1$. Demuestre que $x^{2016}+y> 1-\frac{1}{100}$

5 Un hexágono convexo $A_1B_1A_2B_2A_3B_3$ está inscrito en una circunferencia $\Omega$ de radio $R$. Las diagonales $A_1B_2$, $A_2B_3$, $A_3B_1$ son concurrentes en $X$. Para cada $i=1,2,3$ sea $\omega_i$ tangente a los segmentos $XA_i$ y $XB_i$ y tangente al arco $A_iB_i$ de $\Omega$ que no contiene a los otros vértices del hexágono; sea $r_i$ el radio de $\omega_i$. (a) Demuestre que $R\geq r_1+r_2+r_3$. (b) Si $R= r_1+r_2+r_3$, demuestre que los seis puntos de tangencia de las circunferencias $\omega_i$ con las diagonales $A_1B_2$, $A_2B_3$, $A_3B_1$ son concíclicos.

4 Sea $ABCDEFGH$ un paralelepípedo con $AE \parallel BF \parallel CG \parallel DH$. Demuestre la desigualdad \[AF + AH + AC \leq AB + AD + AE + AG.\] ¿En qué casos se cumple la igualdad? Propuesto por Francia. Amir

3 ¿Existe un polinomio de segundo grado $p(x, y)$ en dos variables tal que todo entero no negativo $n$ sea igual a $p(k,m)$ para uno y solo un par ordenado $(k,m)$ de enteros no negativos? Propuesto por Finlandia. Amir

14 ¿Cuántas palabras de $n$ dígitos se pueden formar con el alfabeto $\{0, 1, 2, 3, 4\}$, si los dígitos vecinos deben diferir exactamente en uno? Propuesto por Alemania, RF. Amir

2 Encuentre los valores mínimo y máximo de $ S=\frac{a}{b}+\frac{c}{d} $ donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son enteros positivos que satisfacen $a + c = 20202$ y $b + d = 20200$ .

1 Sean $r_2, r_3,\ldots, r_{1000}$ los residuos cuando un entero positivo impar se divide por $2,3,\ldots,1000$, respectivamente. Se sabe que los residuos son distintos entre sí y que uno de ellos es $0$. Encuentre todos los valores de $k$ para los cuales es posible que $r_k = 0$.

1 Considere dos sucesiones infinitas $a_0,a_1,a_2,\dots$ y $b_0,b_1,b_2,\dots$ de números reales tales que $a_0=0$, $b_0=0$ y \[a_{k+1}=b_k, \quad b_{k+1}=\frac{a_kb_k+a_k+1}{b_k+1}\] para cada entero $k \ge 0$. Demuestre que $a_{2024}+b_{2024} \ge 88$.

3 Hay $2024$ matemáticos sentados en una fila junto al río Tisza. Cada uno de ellos trabaja exactamente en un tema de investigación y, si dos matemáticos trabajan en el mismo tema, todos los que están sentados entre ellos también trabajan en el mismo. Marvin intenta determinar, para cada par de matemáticos, si trabajan en el mismo tema. Se le permite hacer a cada matemático la siguiente pregunta: "¿Cuántos de estos $2024$ matemáticos trabajan en tu tema?". Él hace las preguntas una por una, por lo que conoce todas las respuestas anteriores antes de hacer la siguiente. Determine el entero positivo $k$ más pequeño tal que Marvin siempre pueda lograr su objetivo con un máximo de $k$ preguntas.

8 Sea $k$ un entero positivo y $a_1,a_2,\dots$ una sucesión infinita de enteros positivos tal que \[a_ia_{i+1} \mid k-a_i^2\] para todo entero $i \ge 1$. Demuestre que existe un entero positivo $M$ tal que $a_n=a_{n+1}$ para todo entero $n \ge M$.