A4 Sean $x,y,z \in \mathbb{R}^+$ que satisfacen $xyz=3(x+y+z)$. Demuestra que \begin{align*} \sum \frac{1}{x^2(y+1)} \geq \frac{3}{4(x+y+z)} \end{align*}

G1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $AB=AC=BD$ (los vértices están etiquetados en orden circular). Las rectas $AC$ y $BD$ se cortan en el punto $O$, los círculos $ABC$ y $ADO$ se cortan nuevamente en el punto $P$, y las rectas $AP$ y $BC$ se cortan en el punto $Q$. Muestra que los ángulos $COQ$ y $DOQ$ son iguales.

G2 Sea $ABC$ un triángulo y sea $O$ su circuncentro. Las bisectrices interna y externa del ángulo $BAC$ cortan a la recta $BC$ en los puntos $D$ y $E$, respectivamente. Sean además $M$ y $L$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $DE$, respectivamente. Las circunferencias $ABC$ y $ALO$ se cortan de nuevo en el punto $N$. Demuestra que los ángulos $BAN$ y $CAM$ son iguales.

G3 Dado un triángulo \(ABC\), sea \(D\) el punto medio del lado \(AC\) y sea \(M\) el punto que divide al segmento \(BD\) en la razón \(1/2\); es decir, \(MB/MD=1/2\). Las rayas \(AM\) y \(CM\) cortan a los lados \(BC\) y \(AB\) en los puntos \(E\) y \(F\), respectivamente. Supón que las dos rayas son perpendiculares: \(AM\perp CM\). Muestra que el cuadrilátero \(AFED\) es cíclico si y solo si la mediana desde \(A\) en el triángulo \(ABC\) corta a la recta \(EF\) en un punto situado sobre la circunferencia \(ABC\).

G4 Dado un triángulo \(ABC\), la recta paralela al lado \(BC\) y tangente a la circunferencia inscrita del triángulo corta a los lados \(AB\) y \(AC\) en los puntos \(A_1\) y \(A_2\); los puntos \(B_1, B_2\) y \(C_1, C_2\) se definen de manera similar. Demuestra que \[ AA_1 \cdot AA_2 + BB_1 \cdot BB_2 + CC_1 \cdot CC_2 \ge \frac19 (AB^2 + BC^2 + CA^2) \]

C1 Sea $S$ un conjunto finito de enteros positivos que tiene la siguiente propiedad: si $x$ es un elemento de $S$, entonces también lo son todos los divisores positivos de $x$. Un subconjunto no vacío $T$ de $S$ es bueno si siempre que $x,y\in T$ y $x<y$, el cociente $y/x$ es una potencia de un número primo. Un subconjunto no vacío $T$ de $S$ es malo si siempre que $x,y\in T$ y $x<y$, el cociente $y/x$ no es una potencia de un número primo. Un conjunto de un solo elemento se considera tanto bueno como malo. Sea $k$ el mayor tamaño posible de un subconjunto bueno de $S$. Demuestra que $k$ es también el menor número de subconjuntos malos disjuntos por pares cuya unión es $S$.

N4 Encuentra todos los pares de enteros positivos $(x,y)$ con la siguiente propiedad: Si $a,b$ son divisores positivos y primos relativos de $x^3 + y^3$, entonces $a+b - 1$ es divisor de $x^3+y^3$. (Chipre)

N3 Sea $a$ un entero positivo. Para todo entero positivo $n$, definimos $ a_n=1+a+a^2+\ldots+a^{n-1}. $ Sean $s,t$ dos enteros positivos distintos con la siguiente propiedad: Si $p$ es un divisor primo de $s-t$, entonces $p$ divide a $a-1$. Demuestra que el número $\frac{a_{s}-a_{t}}{s-t}$ es un entero. (FYROM)

N2 La sucesión $(a_n)_{n\geq 0}$ está definida por $a_{0}=0, a_1=1, a_2=2, a_3=6$, y $a_{n+4}=2a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n, n\geq 0$. Demuestra que $n^2$ divide a $a_n$ para infinitos $n$. (Rumania)

C2 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo de área $1$, cuyos lados opuestos son paralelos. Las rectas $AB$, $CD$ y $EF$ se cortan por pares para determinar los vértices de un triángulo. De manera similar, las rectas $BC$, $DE$ y $FA$ se cortan por pares para determinar los vértices de otro triángulo. Demuestra que el área de al menos uno de estos dos triángulos es al menos $3/2$.