Dado el lado $a$ y la altura correspondiente $h_a$ de un triángulo $ABC$, encontrar una relación entre $a$ y $h_a$ tal que sea posible construir, con regla y compás, el triángulo $ABC$ tal que las alturas de $ABC$ formen un triángulo rectángulo que admita $h_a$ como hipotenusa.

Sea $E = \{1, 2, \dots , 16\}$ y sea $M$ la colección de todas las matrices de $4 \times 4$ cuyas entradas son miembros distintos de $E$ . Si una matriz $A = (a_{ij} )_{4\times4}$ se elige al azar de $M$ , calcule la probabilidad $p(k)$ de $\max_i \min_j a_{ij} = k$ para $k \in E$ . Además, determine $l \in E$ tal que $p(l) = \max \{p(k) | k \in E \}.$

Sean $a, b$ y $c$ números reales tales que \[\frac{1}{bc-a^2} + \frac{1}{ca-b^2}+\frac{1}{ab-c^2} = 0.\] Demuestre que \[\frac{a}{(bc-a^2)^2} + \frac{b}{(ca-b^2)^2}+\frac{c}{(ab-c^2)^2} = 0.\]

La secuencia $f_1, f_2, \cdots, f_n, \cdots $ de funciones se define para $x > 0$ recursivamente por \[f_1(x)=x , \quad f_{n+1}(x) = f_n(x) \left(f_n(x) + \frac 1n \right)\] Demuestre que existe uno y solo un número positivo $a$ tal que $0 < f_n(a) < f_{n+1}(a) < 1$ para todos los enteros $n \geq 1.$

Dos triángulos equiláteros están inscritos en un círculo de radio $r$ . Sea $A$ el área del conjunto que consiste en todos los puntos interiores a ambos triángulos. Demuestre que $2A \geq r^2 \sqrt 3.$

¿Existen enteros $m$ y $n$ tales que \[5m^2 - 6mn + 7n^2 = 1985 \ ?\]

Sea $ABCD$ un rectángulo, $AB = a, BC = b$. Considere la familia de líneas rectas paralelas y equidistantes (la distancia entre dos líneas consecutivas es $d$) que están en un ángulo $\phi, 0 \leq \phi \leq 90^{\circ},$ con respecto a $AB$. Sea $L$ la suma de las longitudes de todos los segmentos que intersecan el rectángulo. Encuentre: (a) cómo varía $L$, (b) una condición necesaria y suficiente para que $L$ sea una constante, y (c) el valor de esta constante.

Encuentre todas las ternas de enteros positivos $x, y, z$ que satisfacen \[\frac{1}{x} +\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{4}{5} .\]

Sean $A_1A_2,B_1B_2, C_1C_2$ tres segmentos iguales en los tres lados de un triángulo equilátero. Demuestre que en el triángulo formado por las líneas $B_2C_1, C_2A_1,A_2B_1$, los segmentos $B_2C_1, C_2A_1,A_2B_1$ son proporcionales a los lados en los que están contenidos.

Construya un triángulo $ABC$ dados el lado $AB$ y la distancia $OH$ desde el circuncentro $O$ al ortocentro $H$, asumiendo que $OH$ y $AB$ son paralelos.