Treinta y cuatro países participaron en una sesión del jurado de la OIM, cada uno representado por el líder y el líder adjunto del equipo. Antes de la reunión, algunos participantes intercambiaron apretones de manos, pero ningún líder de equipo estrechó la mano de su adjunto. Después de la reunión, el líder del equipo ilirio preguntó a todos los demás participantes el número de personas con las que habían estrechado la mano, y todas las respuestas que obtuvo fueron diferentes. ¿A cuántas personas saludó el líder adjunto del equipo ilirio?

Factorice $ 5^{1985}-1$ como un producto de tres enteros, cada uno mayor que $ 5^{100}$ .

Dado que $n$ elementos $a_1, a_2,\dots, a_n$ están organizados en $n$ pares $P_1, P_2, \dots, P_n$ de tal manera que dos pares $P_i, P_j$ comparten exactamente un elemento cuando $(a_i, a_j)$ es uno de los pares, demuestre que cada elemento está en exactamente dos de los pares.

Determine el rango de $w(w + x)(w + y)(w + z)$ , donde $x, y, z$ , y $w$ son números reales tales que $x + y + z + w = x^7 + y^7 + z^7 + w^7 = 0.$

Determine el radio de una esfera $S$ que pasa por los centroides de cada cara de un tetraedro dado $T$ inscrito en una esfera unitaria con centro $O$. Además, determine la distancia desde $O$ hasta el centro de $S$ como una función de las aristas de $T.$

Sea $l$ la longitud de la diagonal más pequeña de todos los rectángulos inscritos en un triángulo $T$. (Por inscrito, queremos decir que los cuatro vértices del rectángulo se encuentran en el borde de $T$.) Determine el valor máximo de $\frac{l^2}{S(T)}$ tomado sobre todos los triángulos ( $S(T)$ denota el área del triángulo $T$).

Sea $CD$ un diámetro del círculo $K$. Sea $AB$ una cuerda paralela a $CD$. El segmento de línea $AE$, con $E$ en $K$, es paralelo a $CB$; $F$ es el punto de intersección de los segmentos de línea $AB$ y $DE$. El segmento de línea $FG$, con $G$ en $DC$, extendido es paralelo a $CB$. ¿Es $GA$ tangente a $K$ en el punto $A \?$

Sea $A$ un conjunto de $n$ puntos en el espacio. De la familia de todos los segmentos con puntos finales en $A$, se han seleccionado $q$ segmentos y se han coloreado de amarillo. Suponga que todos los segmentos amarillos tienen diferente longitud. Demuestre que existe una línea poligonal compuesta de $m$ segmentos amarillos, donde $m \geq \frac{2q}{n}$, dispuestos en orden de longitud creciente.

Sea $\Gamma_i, i = 0, 1, 2, \dots$, un círculo de radio $r_i$ inscrito en un ángulo de medida $2\alpha$ tal que cada $\Gamma_i$ es externamente tangente a $\Gamma_{i+1}$ y $r_{i+1} < r_i$. Demostrar que la suma de las áreas de los círculos $\Gamma_i$ es igual al área de un círculo de radio $r =\frac 12 r_0 (\sqrt{ \sin \alpha} + \sqrt{\text{csc} \alpha}).$

Encontrar todos los polinomios cúbicos $x^3 +ax^2 +bx+c$ que admiten los números racionales $a$, $b$ y $c$ como raíces.