2 En el triángulo $ABC$ , $\omega$ es su circunferencia circunscrita y $O$ es el centro de este círculo. Los puntos $M$ y $N$ se encuentran sobre los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente. $\omega$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $AMN$ se intersecan por segunda vez en $Q$ . Sea $P$ el punto de intersección de $MN$ y $BC$ . Demuestre que $PQ$ es tangente a $\omega$ si y solo si $OM=ON$ . Propuesto por el Sr. Etesami

3 En el triángulo $ABC$ , $X$ y $Y$ son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita (con centro $I$ ) con los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente. Una recta tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ (con centro $O$ ) en el punto $A$ interseca a la extensión de $BC$ en $D$ . Si $D,X$ y $Y$ son colineales, entonces demuestre que $D,I$ y $O$ también son colineales. Propuesto por Amirhossein Zabeti

$ABC$$O$$I$$X$$I$$O$$A_1$$X$$BC$$B_1$$C_1$$AA_1$$BB_1$$CC_1$

4 Un triángulo variable tiene circunferencia inscrita y circunferencia circunscrita fijas. Demuestre que el centro radical de sus tres circunferencias exinscritas se encuentra sobre un círculo fijo y que el centro de dicho círculo es el punto medio del segmento que une el circuncentro y el incentro. Propuesto por Masoud Nourbakhsh

5 Dado el triángulo $ABC$ , $D$ es el pie de la bisectriz exterior del ángulo $A$ , $I$ su incentro e $I_a$ su $A$ -excentro. La perpendicular desde $I$ a $DI_a$ interseca a la circunferencia circunscrita del triángulo en $A'$ . Defina $B'$ y $C'$ de manera análoga. Demuestre que $AA',BB'$ y $CC'$ son concurrentes. Propuesto por Amirhossein Zabeti

1 Definimos el polinomio recursivo $T_n(x)$ como sigue: $T_0(x)=1$ $T_1(x)=x$ $T_{n+1}(x)=2xT_n(x)+T_{n-1}(x)$ $\forall n \in \mathbb N$ . a) Encuentre $T_2(x),T_3(x),T_4(x)$ y $T_5(x)$ . b) Encuentre todas las raíces del polinomio $T_n(x)$ $\forall n \in \mathbb N$ . Propuesto por Morteza Saghafian

2 Para números reales no negativos $x,y,z$ y $t$ sabemos que $|x-y|+|y-z|+|z-t|+|t-x|=4$ . Encuentre el mínimo de $x^2+y^2+z^2+t^2$ . Propuesto por Mohammadmahdi Yazdi, Mohammad Ahmadi

3 Definimos el polinomio $f(x)$ en $\mathbb R[x]$ como sigue: $f(x)=x^n+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+.....+a_1x+a_0$ Demuestre que existe un $i$ en el conjunto $\{1,....,n\}$ tal que tenemos $|f(i)|\ge \frac{n!}{\dbinom{n}{i}}$ . Propuesto por Mohammadmahdi Yazdi

4 Para números reales positivos $a,b$ y $c$ tenemos $a+b+c=3$ . Demuestre que $\frac{a}{1+(b+c)^2}+\frac{b}{1+(a+c)^2}+\frac{c}{1+(a+b)^2}\le \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$ . Propuesto por Mohammad Ahmadi

5 $f(x)$ es un polinomio mónico de grado $2$ con coeficientes enteros tal que $f(x)$ no tiene raíces reales y además $f(0)$ es un entero libre de cuadrados (y no es $1$ ni $-1$ ) . Demuestre que para todo entero $n$ el polinomio $f(x^n)$ es irreducible sobre $\mathbb Z[x]$ . Propuesto por Mohammadmahdi Yazdi