Para cada entero $r > 1$, encuentre el entero más pequeño $h(r) > 1$ que tenga la siguiente propiedad: Para cualquier partición del conjunto $\{1, 2, . . ., h(r)\}$ en $r$ clases, existen enteros $a \geq 0, 1 \leq x \leq y$ tales que los números $a + x, a + y, a + x + y$ están contenidos en la misma clase de la partición.

Sea $C$ una clase de funciones $f : \mathbb N \to \mathbb N$ que contiene las funciones $S(x) = x + 1$ y $E(x) = x - [\sqrt x]^2$ para cada $x \in \mathbb N$. ( $[x]$ es la parte entera de $x$. ) Si $C$ tiene la propiedad de que para cada $f, g \in C, f + g, fg, f \circ g \in C$, demuestre que la función $\max(f(x) - g(x), 0)$ está en $C$, para todas $f; g \in C$.

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos disjuntos de puntos en el plano tales que no hay tres puntos distintos en $A \cup B$ que sean colineales. Asuma que al menos uno de los conjuntos $A, B$ contiene al menos cinco puntos. Demuestre que existe un triángulo todos cuyos vértices están contenidos en $A$ o en $B$ que no contiene en su interior ningún punto del otro conjunto.

Demuestre que la secuencia $\{a_n\}_{n\geq1}$ definida por $a_n = [n \sqrt 2]$ contiene un número infinito de potencias enteras de $2$. ( $[x]$ es la parte entera de $x$. )

Sean $k \geq 2$ y $n_1, n_2, . . . , n_k \geq 1$ números naturales que tienen la propiedad $n_2 | 2^{n_1} - 1, n_3 | 2^{n_2} -1 , \cdots, n_k | 2^{n_{k-1}}-1$, y $n_1 | 2^{n_k} - 1$. Demuestre que $n_1 = n_2 = \cdots = n_k = 1$.

Sea $D$ el interior del círculo $C$ y sea $A \in C$. Demuestre que la función $f : D \to \mathbb R, f(M)=\frac{|MA|}{|MM'|}$ donde $M' = AM \cap C$, es estrictamente convexa; es decir, $f(P) <\frac{f(M_1)+f(M_2)}{2}, \forall M_1,M_2 \in D, M_1 \neq M_2$ donde $P$ es el punto medio del segmento $M_1M_2$.

Defina las funciones $f, F : \mathbb N \to \mathbb N$ , por \[f(n)=\left[ \frac{3-\sqrt 5}{2} n \right] , F(k) =\min \{n \in \mathbb N|f^k(n) > 0 \},\] donde $f^k = f \circ \cdots \circ f$ es $f$ iterada $n$ veces. Demuestre que $F(k + 2) = 3F(k + 1) - F(k)$ para todo $k \in \mathbb N.$

Sea $p$ un primo. ¿Para qué $k$ se puede particionar el conjunto $\{1, 2, \dots , k\}$ en $p$ subconjuntos con sumas de elementos iguales?

Sea $x_n = \sqrt[2]{2+\sqrt[3]{3+\cdots+\sqrt[n]{n}}}.$ Demuestre que \[x_{n+1}-x_n <\frac{1}{n!} \quad n=2,3,\cdots\]

Un disco circular 'grande' está adherido a una pared vertical. Gira en el sentido de las agujas del reloj con una revolución por minuto. Un insecto aterriza en el disco e inmediatamente comienza a trepar verticalmente hacia arriba con una velocidad constante de $\frac{\pi}{3}$ cm por segundo (relativo al disco). Describa la trayectoria del insecto (a) en relación con el disco; (b) en relación con la pared.