15 En una conferencia participan matemáticos de $11$ países distintos y tienen edades de valor entero entre $27$ y $33$ años (incluyendo $27$ y $33$ ) . Hay al menos un matemático de cada país, y hay al menos un matemático de cada edad posible entre $27$ y $33$ . Muestre que podemos encontrar al menos cinco matemáticos $m_1, \ldots, m_5$ tales que para cualquier $i \in \{1, \ldots, 5 \}$ haya más matemáticos en la conferencia que tienen la misma edad que $m_i$ que aquellos que tienen la misma nacionalidad que $m_i$ . Propuesto por S. Muralidharan Rijul

4 El punto ${D}$ se encuentra sobre el lado ${BC}$ de $\vartriangle ABC$ . Los circuncentros de $\vartriangle ADC$ y $\vartriangle BAD$ son ${O_1}$ y ${O_2}$ , respectivamente, y ${O_1O_2\parallel AB}$ . El ortocentro de $\vartriangle ADC$ es ${H}$ y ${AH=O_1O_2}.$ Halle los ángulos de $\vartriangle ABC$ si $2m\left( \angle C \right)=3m\left( \angle B \right).$

3 Sea $ABC$ un triángulo en el cual ( ${BL}$ es la bisectriz del ángulo ${\angle{ABC}}$ $\left( L\in AC \right)$ , ${AH}$ es una altura de $\vartriangle ABC$ $\left( H\in BC \right)$ y ${M}$ es el punto medio del lado ${AB}$ . Se sabe que los puntos medios de los segmentos ${BL}$ y ${MH}$ coinciden. Determine los ángulos interiores del triángulo $\vartriangle ABC$ .

2 Sean $AD,BF$ y ${CE}$ las alturas de $\vartriangle ABC$ . Una recta que pasa por ${D}$ y es paralela a ${AB}$ interseca a la recta ${EF}$ en el punto ${G}$ . Si ${H}$ es el ortocentro de $\vartriangle ABC$ , halle el ángulo ${\angle{CGH}}$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$ . Sobre la prolongación del lado ${CA}$ consideramos el punto ${D}$ tal que ${AD<AC}$ . La mediatriz del segmento ${BD}$ interseca a las bisectrices interior y exterior del ángulo $\angle BAC$ en los puntos ${E}$ y ${Z}$ , respectivamente. Demuestre que los puntos ${A, E, D, Z}$ son concíclicos.

9 Decida si es posible considerar $2011$ puntos en un plano tales que la distancia entre cada dos de estos puntos sea distinta de $1$ y cada circunferencia unitaria centrada en uno de estos puntos deje exactamente $1005$ puntos fuera de la circunferencia.

8 Determine los polígonos de $n$ lados $(n \ge 4)$ , no necesariamente convexos, que satisfacen la propiedad de que la reflexión de cada vértice del polígono con respecto a cada diagonal del polígono no cae fuera del polígono. Nota: Todo segmento que une dos vértices no vecinos del polígono es una diagonal. La reflexión se considera con respecto a la recta soporte de la diagonal.

7 Considere un rectángulo cuyas longitudes de lados son números naturales. Si alguien coloca la mayor cantidad posible de cuadrados, cada uno de área $3$ , dentro del rectángulo dado, de modo que los lados de los cuadrados sean paralelos a los lados del rectángulo, entonces el número máximo de estos cuadrados llena exactamente la mitad del área del rectángulo. Determine las dimensiones de todos los rectángulos con esta propiedad.

6 Sea $n>3$ un entero positivo. El triángulo equilátero ABC está dividido en $n^2$ triángulos equiláteros pequeños congruentes (con lados paralelos a sus lados). Sea $m$ el número de rombos que contienen dos triángulos equiláteros pequeños y $d$ el número de rombos que contienen ocho triángulos equiláteros pequeños. Halle la diferencia $m-d$ en términos de $n$ .

16 Hay $n$ ciudades en un país, una de las cuales es la capital. Una aerolínea opera vuelos bidireccionales entre algunos pares de ciudades de modo que se puede llegar de cualquier ciudad a cualquier otra. La aerolínea quiere cancelar algunos vuelos (posiblemente ninguno), de modo que el número de vuelos necesarios para llegar desde la capital a cualquier ciudad en particular no aumente. Suponga que hay un número impar de maneras en que la aerolínea puede hacer esto. Demuestre que el conjunto de ciudades puede dividirse en dos grupos, de modo que no haya vuelo entre dos ciudades del mismo grupo. Propuesto por Pranjal Srivastava Rijul