Encuentra todas las funciones $ f: \mathbb{R}^{ + }\to\mathbb{R}^{ + }$ que satisfacen $ f\left(x + f\left(y\right)\right) = f\left(x + y\right) + f\left(y\right)$ para todos los pares de números reales positivos $ x$ e $ y$ . Aquí, $ \mathbb{R}^{ + }$ denota el conjunto de todos los reales positivos.

Sea $ n$ un entero positivo, y sean $ x$ e $ y$ números reales positivos tales que $ x^n + y^n = 1.$ Demuestra que \[ \left(\sum^n_{k = 1} \frac {1 + x^{2k}}{1 + x^{4k}} \right) \cdot \left( \sum^n_{k = 1} \frac {1 + y^{2k}}{1 + y^{4k}} \right) < \frac {1}{(1 - x) \cdot (1 - y)}.

Considera aquellas funciones $ f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ que satisfacen la condición \[ f(m + n) \geq f(m) + f(f(n)) - 1 \] para todos los $ m,n \in \mathbb{N}.$ Encuentra todos los valores posibles de $ f(2007).$

Sea $ n > 1$ un entero. Encuentre todas las secuencias $ a_1, a_2, \ldots a_{n^2 + n}$ que satisfacen las siguientes condiciones: \[ \text{ (a) } a_i \in \left\{0,1\right\} \text{ para todo } 1 \leq i \leq n^2 + n; \] \[ \text{ (b) } a_{i + 1} + a_{i + 2} + \ldots + a_{i + n} < a_{i + n + 1} + a_{i + n + 2} + \ldots + a_{i + 2n} \text{ para todo } 0 \leq i \leq n^2 - n. \]

En un plano se dan un círculo con radio $R$ y centro $w$ y una línea $\Lambda$. La distancia entre $w$ y $\Lambda$ es $d, d > R$. Los puntos $M$ y $N$ se eligen en $\Lambda$ de tal manera que el círculo con diámetro $MN$ es externamente tangente al círculo dado. Demuestre que existe un punto $A$ en el plano tal que todos los segmentos $MN$ se ven en un ángulo constante desde $A$.

Determine todas las funciones $f : \mathbb R \to \mathbb R$ que satisfacen las siguientes dos condiciones: (a) $f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)f(y)$ para todo $x, y \in \mathbb R$ , y (b) $\lim_{x\to \infty} f(x) = 0$ .

Demuestra que para cada punto $M$ en la superficie de un tetraedro regular existe un punto $M'$ tal que hay al menos tres curvas diferentes en la superficie que unen $M$ a $M'$ con la longitud más pequeña posible entre todas las curvas en la superficie que unen $M$ a $M'$.

Un círculo con centro $O$ pasa por los vértices $A$ y $C$ del triángulo $ABC$ e interseca los segmentos $AB$ y $BC$ nuevamente en puntos distintos $K$ y $N$ respectivamente. Sea $M$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $KBN$ (aparte de $B$). Demuestra que $\angle OMB=90^{\circ}$.

La esfera inscrita en el tetraedro $ABCD$ toca los lados $ABD$ y $DBC$ en los puntos $K$ y $M$, respectivamente. Demuestra que $\angle AKB = \angle DMC$.

Encuentra un método mediante el cual se puedan calcular los coeficientes de $P(x) = x^6 + a_1x^5 + \cdots+ a_6$ a partir de las raíces de $P(x) = 0$ realizando no más de $15$ sumas y $15$ multiplicaciones.