3 Sea $n \geq 2$ un entero. Defina $x_i =1$ o $-1$ para cada $i=1,2,3,\cdots, n$ . Llamemos adhesión a la operación que transforma la cadena $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ en $(x_1x_2, x_2x_3, \cdots ,x_{n-1}x_n, x_nx_1)$ . Halle todos los enteros $n \geq 2$ tales que la cadena $(x_1,x_2,\cdots, x_n)$ se transforma en $(1,1,\cdots,1)$ después de un número finito de operaciones de adhesión. Ovchinnikov

4 Demuestre que para cualesquiera números reales $a_1,a_2,...,a_{n}, b_1,b_2,...,b_{n}$ se cumple la siguiente desigualdad: $(a_1^{2010}+a_2^{2010}+...+a_{n}^{2010})(b_1^{2010}+b_2^{2010}+...+b_n^{2010}) \geq (a_1b_1^{2009}+a_2b_2^{2009}+...+a_nb_n^{2009})(a_1^{2009}b_1+a_2^{2009}b_2+...+a_n^{2009}b_n)$ . Ovchinnikov

5 Sobre los lados del cuadrilátero convexo $ABCD$ , hacia el exterior, se construyen los triángulos equiláteros $ABK, BCL, CDM, DAN$ . Sean $P,Q$ los puntos medios de $BL, AN$ , respectivamente, y $X$ el circuncentro de $CMD$ . Demuestre que $PQ$ es perpendicular a $KX$ . Ovchinnikov

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que existen $M,N$ en el interior de $ABCD$ para los cuales $\angle NAD= \angle MAB; \angle NBC= \angle MBA; \angle MCB=\angle NCD; \angle NDA=\angle MDC$ . Demuestre que $S_{ABM}+S_{ABN}+S_{CDM}+S_{CDN}=S_{BCM}+S_{BCN}+S_{ADM}+S_{ADN}$ , donde $S_{XYZ}$ es el área del triángulo $XYZ$ . Ovchinnikov

4 Para $x;y \geq 0$ demuestre la desigualdad: $\sqrt{x^2-x+1} \sqrt{y^2-y+1}+ \sqrt{x^2+x+1} \sqrt{y^2+y+1} \geq 2(x+y)$ . Ovchinnikov

5 Sea $O$ la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ , $AD$ la altura de $ABC$ ( $ D \in BC$ ) , $ AD \cap CO =E$ , $M$ el punto medio de $AE$ , $F$ el pie de la perpendicular trazada desde $C$ a $AO$ . Demuestre que el punto de intersección de $OM$ y $BC$ está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $BOF$ . Ovchinnikov

1 En el triángulo $ABC$ la circunferencia inscrita toca a los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ en los puntos $A_1$ , $B_1$ y $C_1$ , respectivamente. Denote los ortocentros de los triángulos $AC_1B_1$ y $CA_1B_1$ por $H_1$ y $H_2$ . Demuestre que el cuadrilátero $AH_1H_2C$ es cíclico.

2 En un torneo de ajedrez con $11$ participantes, cada jugador juega exactamente una partida contra cada uno de los demás. En cada partida, una victoria otorga $1$ punto, un empate otorga $0.5$ puntos y una derrota otorga $0$ puntos. Si al final del torneo un jugador obtiene al menos el $75\%$ del número máximo posible de puntos que podría alcanzar, se le concede un título. ¿Cuál es el número máximo de participantes que pueden recibir el título?

3 Sea $S_{n}$ el número de $n$ - uplas ordenadas de números naturales $(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})$ tales que \[\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}=1.\] Determine la paridad de $S_{7}$ .

4 Para números reales positivos $a, b, c$ que satisfacen $abc=1$ , demuestre que \[\frac{1}{a(b+c)}+\frac{1}{b(c+a)}+\frac{1}{c(a+b)}\leqslant\frac{a+b+c}{2}.\]