1 Considere $m+1$ rectas horizontales y $n+1$ rectas verticales ( $m,n\ge 4$ ) en el plano que forman una tabla de $m\times n$ . Considere un camino cerrado sobre los segmentos de esta tabla tal que no se interseca a sí mismo y además pasa por todos los $(m-1)(n-1)$ vértices interiores (cada vértice es un punto de intersección de dos rectas) y no pasa por ninguno de los vértices exteriores. Suponga que $A$ es el número de vértices por los cuales el camino pasa de frente, $B$ el número de cuadrados de la tabla de los cuales solo se usan sus dos lados opuestos en el camino, y $C$ el número de cuadrados de la tabla de los cuales no se usa ninguno de sus lados en el camino. Demuestre que \[A=B-C+m+n-1.\] Propuesto por Ali Khezeli

2 La función $f:\mathbb R^{\ge 0} \longrightarrow \mathbb R^{\ge 0}$ satisface las siguientes propiedades para todos $a,b\in \mathbb R^{\ge 0}$ : a) $f(a)=0 \Leftrightarrow a=0$ b) $f(ab)=f(a)f(b)$ c) $f(a+b)\le 2 \max \{f(a),f(b)\}$ . Demuestre que para todos $a,b\in \mathbb R^{\ge 0}$ tenemos $f(a+b)\le f(a)+f(b)$ . Propuesto por Masoud Shafaei

3 El pentágono $ABCDE$ está inscrito en una circunferencia $w$ . Suponga que $w_a,w_b,w_c,w_d,w_e$ son las reflexiones de $w$ con respecto a los lados $AB,BC,CD,DE,EA$ respectivamente. Sea $A'$ el segundo punto de intersección de $w_a,w_e$ y defina $B',C',D',E'$ de manera similar. Demuestre que \[2\le \frac{S_{A'B'C'D'E'}}{S_{ABCDE}}\le 3,\] donde $S_X$ denota el área de la figura $X$ . Propuesto por Morteza Saghafian, Ali khezeli

1 ¿Es posible colocar $\binom{n}{2}$ números naturales consecutivos en las aristas de un grafo completo con $n$ vértices de modo que para todo camino (o ciclo) de longitud $3$ donde los números $a,b$ y $c$ estén escritos en sus aristas (la arista $b$ está entre las aristas $c$ y $a$ ) , $b$ sea divisible por el máximo común divisor de los números $a$ y $c$ ? Propuesto por Morteza Saghafian

2 Sea $g(x)$ un polinomio de grado al menos $2$ con todos sus coeficientes positivos. Halle todas las funciones $f:\mathbb R^+ \longrightarrow \mathbb R^+$ tales que \[f(f(x)+g(x)+2y)=f(x)+g(x)+2f(y) \quad \forall x,y\in \mathbb R^+.\] Propuesto por Mohammad Jafari

3 Suponga que $ABCD$ es un paralelogramo. Considere las circunferencias $w_1$ y $w_2$ tales que $w_1$ es tangente a los segmentos $AB$ y $AD$ y $w_2$ es tangente a los segmentos $BC$ y $CD$ . Suponga que existe una circunferencia que es tangente a las rectas $AD$ y $DC$ y tangente exteriormente a $w_1$ y $w_2$ . Demuestre que existe una circunferencia que es tangente a las rectas $AB$ y $BC$ y también tangente exteriormente a las circunferencias $w_1$ y $w_2$ . Propuesto por Ali Khezeli

1 Para los reales positivos $a,b$ y $c$ con $ab+bc+ca=1$ , demuestre que \[\sqrt{3}({\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\le \frac{a\sqrt{a}}{bc}+\frac{b\sqrt{b}}{ca}+\frac{c\sqrt{c}}{ab}.}\] Propuesto por Morteza Saghafian

2 Los puntos $A$ y $B$ están en una circunferencia $\omega$ con centro $O$ tales que $\tfrac{\pi}{3}< \angle AOB <\tfrac{2\pi}{3}$ . Sea $C$ el circuncentro del triángulo $AOB$ . Sea $l$ una recta que pasa por $C$ tal que el ángulo entre $l$ y el segmento $OC$ es $\tfrac{\pi}{3}$ . $l$ corta a las tangentes en $A$ y $B$ a $\omega$ en $M$ y $N$ respectivamente. Suponga que las circunferencias circunscritas de los triángulos $CAM$ y $CBN$ cortan a $\omega$ nuevamente en $Q$ y $R$ respectivamente y entre sí en $P$ (distinto de $C$ ) . Demuestre que $OP\perp QR$ . Propuesto por Mehdi E'tesami Fard, Ali Khezeli

3 Llamamos leal a un subconjunto $B$ de números naturales si existen números naturales $i\le j$ tales que $B=\{i,i+1,\ldots,j\}$ . Sea $Q$ el conjunto de todos los conjuntos leales. Para todo subconjunto $A=\{a_1<a_2<\ldots<a_k\}$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ definimos \[f(A)=\max_{1\le i \le k-1}{a_{i+1}-a_i}\qquad\text{and}\qquad g(A)=\max_{B\subseteq A, B\in Q} |B|.\] Además, definimos \[F(n)=\sum_{A\subseteq \{1,2,\ldots,n\}} f(A)\qquad\text{and}\qquad G(n)=\sum_{A\subseteq \{1,2,\ldots,n\}} g(A).\] Demuestre que existe $m\in \mathbb N$ tal que para cada número natural $n>m$ tenemos $F(n)>G(n)$ . (Por $|A|$ queremos decir el número de elementos de $A$ , y si $|A|\le 1$ , definimos $f(A)$ como cero). Propuesto por Javad Abedi

1 Considere un $2^k$ - gono regular con centro $O$ y etiquete sus lados en el sentido de las agujas del reloj con $l_1,l_2,...,l_{2^k}$ . Refleje $O$ con respecto a $l_1$ , luego refleje el punto resultante con respecto a $l_2$ y continúe este proceso hasta el último lado. Demuestre que la distancia entre el punto final y $O$ es menor que el perímetro del $2^k$ - gono. Propuesto por Hesam Rajabzade