3 Llamamos leal a un subconjunto $B$ de números naturales si existen números naturales $i\le j$ tales que $B=\{i,i+1,\ldots,j\}$ . Sea $Q$ el conjunto de todos los conjuntos leales. Para todo subconjunto $A=\{a_1<a_2<\ldots<a_k\}$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ definimos \[f(A)=\max_{1\le i \le k-1}{a_{i+1}-a_i}\qquad\text{and}\qquad g(A)=\max_{B\subseteq A, B\in Q} |B|.\] Además, definimos \[F(n)=\sum_{A\subseteq \{1,2,\ldots,n\}} f(A)\qquad\text{and}\qquad G(n)=\sum_{A\subseteq \{1,2,\ldots,n\}} g(A).\] Demuestre que existe $m\in \mathbb N$ tal que para cada número natural $n>m$ tenemos $F(n)>G(n)$ . (Por $|A|$ queremos decir el número de elementos de $A$ , y si $|A|\le 1$ , definimos $f(A)$ como cero). Propuesto por Javad Abedi