Sean $b,n > 1$ enteros. Suponga que para cada $k > 1$ existe un entero $a_k$ tal que $b - a^n_k$ es divisible por $k$. Pruebe que $b = A^n$ para algún entero $A$.

Encuentra todos los pares de números naturales $ (a, b)$ tales que $ 7^a - 3^b$ divide a $ a^4 + b^2$.

El punto $P$ se encuentra en el lado $AB$ de un cuadrilátero convexo $ABCD$. Sea $\omega$ la circunferencia inscrita del triángulo $CPD$, y sea $I$ su incentro. Suponga que $\omega$ es tangente a las circunferencias inscritas de los triángulos $APD$ y $BPC$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Sean las líneas $AC$ y $BD$ que se intersectan en $E$, y sean las líneas $AK$ y $BL$ que se intersectan en $F$. Pruebe que los puntos $E$, $I$ y $F$ son colineales.

Dado un triángulo acutángulo $ ABC$ con $ \angle B > \angle C$ . El punto $ I$ es el incentro, y $ R$ el circunradio. El punto $ D$ es el pie de la altura desde el vértice $ A$ . El punto $ K$ se encuentra en la línea $ AD$ tal que $ AK = 2R$ , y $ D$ separa $ A$ y $ K$ . Las líneas $ DI$ y $ KI$ se encuentran con los lados $ AC$ y $ BC$ en $ E,F$ respectivamente. Sea $ IE = IF$ . Demuestra que $ \angle B\leq 3\angle C$ .

Determina el número real positivo más pequeño $ k$ con la siguiente propiedad. Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo, y sean los puntos $ A_1$ , $ B_1$ , $ C_1$ , y $ D_1$ que se encuentran en los lados $ AB$ , $ BC$ , $ CD$ , y $ DA$ , respectivamente. Considera las áreas de los triángulos $ AA_1D_1$ , $ BB_1A_1$ , $ CC_1B_1$ y $ DD_1C_1$ ; sea $ S$ la suma de los dos más pequeños, y sea $ S_1$ el área del cuadrilátero $ A_1B_1C_1D_1$ . Entonces siempre tenemos $ kS_1\ge S$ .

Sea $ ABC$ un triángulo fijo, y sean $ A_1$ , $ B_1$ , $ C_1$ los puntos medios de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ , respectivamente. Sea $ P$ un punto variable en la circunferencia circunscrita. Sean las líneas $ PA_1$ , $ PB_1$ , $ PC_1$ que se encuentran con la circunferencia circunscrita de nuevo en $ A'$ , $ B'$ , $ C'$ , respectivamente. Asume que los puntos $ A$ , $ B$ , $ C$ , $ A'$ , $ B'$ , $ C'$ son distintos, y las líneas $ AA'$ , $ BB'$ , $ CC'$ forman un triángulo. Demuestra que el área de este triángulo no depende de $ P$ .

Considera cinco puntos $ A$ , $ B$ , $ C$ , $ D$ y $ E$ tales que $ ABCD$ es un paralelogramo y $ BCED$ es un cuadrilátero cíclico. Sea $ \ell$ una línea que pasa por $ A$ . Supón que $ \ell$ interseca el interior del segmento $ DC$ en $ F$ e interseca la línea $ BC$ en $ G$ . Supón también que $ EF = EG = EC$ . Demuestra que $ \ell$ es la bisectriz del ángulo $ DAB$ .

Las diagonales de un trapecio $ ABCD$ se intersecan en el punto $ P$ . El punto $ Q$ se encuentra entre las líneas paralelas $ BC$ y $ AD$ tal que $ \angle AQD = \angle CQB$ , y la línea $ CD$ separa los puntos $ P$ y $ Q$ . Demuestra que $ \angle BQP = \angle DAQ$ .

Denotemos por $ M$ el punto medio del lado $ BC$ en un triángulo isósceles $ \triangle ABC$ con $ AC = AB$. Tomemos un punto $ X$ en el arco menor $ \overarc{MA}$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ \triangle ABM$. Denotemos por $ T$ un punto dentro del ángulo $ BMA$ tal que $ \angle TMX = 90$ y $ TX = BX$. Demuestre que $ \angle MTB - \angle CTM$ no depende de la elección de $ X$.

En el triángulo $ ABC$, la bisectriz del ángulo $ BCA$ interseca de nuevo a la circunferencia circunscrita en $ R$, la mediatriz de $ BC$ en $ P$ y la mediatriz de $ AC$ en $ Q$. El punto medio de $ BC$ es $ K$ y el punto medio de $ AC$ es $ L$. Demuestre que los triángulos $ RPK$ y $ RQL$ tienen la misma área.