1 Considere aquellas funciones $ f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ que satisfacen la condición \[ f(m + n) \geq f(m) + f(f(n)) - 1 \] para todo $ m,n \in \mathbb{N}.$ Halle todos los valores posibles de $ f(2007).$ Autor: Nikolai Nikolov, Bulgaria

1 Sea $ n > 1$ un entero. Halle todas las sucesiones $ a_1, a_2, \ldots a_{n^2 + n}$ que satisfacen las siguientes condiciones: \[ \text{ (a) } a_i \in \left\{0,1\right\} \text{ for all } 1 \leq i \leq n^2 + n; \] \[ \text{ (b) } a_{i + 1} + a_{i + 2} + \ldots + a_{i + n} < a_{i + n + 1} + a_{i + n + 2} + \ldots + a_{i + 2n} \text{ for all } 0 \leq i \leq n^2 - n. \] Autor: Dusan Dukic, Serbia

3 Denote por $ M$ el punto medio del lado $ BC$ en un triángulo isósceles $ \triangle ABC$ con $ AC = AB$ . Tome un punto $ X$ en el arco menor $ \overarc{MA}$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ \triangle ABM$ . Denote por $ T$ el punto interior del ángulo $ BMA$ tal que $ \angle TMX = 90$ y $ TX = BX$ . Demuestre que $ \angle MTB - \angle CTM$ no depende de la elección de $ X$ . Autor: Farzan Barekat, Canadá

1 Una sucesión $ (S_n), n \geq 1$ de conjuntos de números naturales con $ S_1 = \{1\}, S_2 = \{2\}$ y \[{ S_{n + 1} = \{k \in }\mathbb{N}|k - 1 \in S_n \text{ XOR } k \in S_{n - 1}\}. \] Determine $ S_{1024}.$

2 Para tres puntos $ X,Y,Z$ sea $ R_{XYZ}$ el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $ XYZ.$ Si $ ABC$ es un triángulo con centro de la circunferencia inscrita $ I$ entonces se tiene: \[ \frac{1}{R_{ABI}} + \frac{1}{R_{BCI}} + \frac{1}{R_{CAI}} \leq \frac{1}{\bar{AI}} + \frac{1}{\bar{BI}} + \frac{1}{\bar{CI}}.\]

3 Halle todos los polinomios reales $ f$ con $ x,y \in \mathbb{R}$ tales que \[ 2 y f(x + y) + (x - y)(f(x) + f(y)) \geq 0. \]

3 Sea $A_0A_1A_2$ un triángulo escaleno. Halle el lugar geométrico de los centros de los triángulos equiláteros $X_0X_1X_2$ , tales que $A_k$ se encuentra sobre la recta $X_{k+1}X_{k+2}$ para cada $k=0,1,2$ (con los índices tomados módulo $3$ ) .

4 Sea $k$ un número natural no nulo y $m$ un número natural impar . Demuestre que existe un número natural $n$ tal que el número $m^n+n^m$ tiene al menos $k$ factores primos distintos.

5 Sea $n$ un entero mayor que $1$ y sea $S$ un conjunto finito que contiene más de $n+1$ elementos. Considere la colección de todos los conjuntos $A$ de subconjuntos de $S$ que satisfacen las dos condiciones siguientes : (a) Cada miembro de $A$ contiene al menos $n$ elementos de $S$ . (b) Cada elemento de $S$ está contenido en al menos $n$ miembros de $A$ . Determine $\max_A \min_B |B|$ , cuando $B$ recorre todos los subconjuntos de $A$ cuyos miembros cubren $S$ , y $A$ recorre la colección anterior.

1 Sea $ABC$ un triángulo y sean $X$ , $Y$ , $Z$ puntos interiores sobre los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente. Demuestre que la imagen ampliada del triángulo $XYZ$ bajo una homotecia de factor $4$ desde su baricentro cubre al menos uno de los vértices $A$ , $B$ , $C$ .