Halle todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$f(x+f(y^2)) + f(xy) = f(x) + yf(x+y)$$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$ . Propuesto por Md. Fuad Al Alam

Igual que Secundaria

Sea la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ tangente a los lados $BC, CA$ y $AB$ en los puntos $D, E$ y $F$ respectivamente, y sea $I$ el centro de esa circunferencia. Además, sea $P$ el pie de la perpendicular desde el punto $I$ a la recta $AD$ y sea $M$ el punto medio de $DE$ . Si $N$ es el punto de intersección de $PM$ y $AC$ , demuestre que $DN \parallel EF$ .

Igual que Secundaria

Sea $ABC$ un triángulo dado con circuncentro $O$ y ortocentro $H$ . Sean $D, E$ y $F$ los pies de las perpendiculares desde $A, B$ y $C$ a los lados opuestos, respectivamente. Sea $A'$ el reflejo de $A$ con respecto a $EF$ . Demuestre que $HOA'D$ es un cuadrilátero cíclico. Propuesto por Imad Uddin Ahmad Hasin

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sea $M$ el punto medio del arco $ABC$. El círculo con centro $M$ y radio $MA$ corta a $AD, AB$ en $X, Y$. El punto $Z \in XY$ con $Z \neq Y$ satisface $BY=BZ$. Demuestra que $\angle BZD=\angle BCD$.

7 Demuestre que $\left\{ {n\sqrt 7 } \right\} > \frac{{3\sqrt 7 }}{{14n}}$ , donde $n$ es un entero positivo.

Dos jugadores juegan en una cuadrícula de $100 \times 100$ . Inicialmente todo el tablero es negro. En el movimiento de $A$ , él selecciona una subcuadrícula de $4 \times 4$ y la colorea de blanco. En el movimiento de $B$ , él selecciona una subcuadrícula de $3 \times 3$ y la colorea de negro. $A$ quiere volver blanco todo el tablero. ¿Puede lograrlo? Propuesto por S M A Nahian

. ¿Cuántos vértices puede tener un polígono convexo si el número de sus diagonales es divisible por el número de sus vértices? P2. Sea $ABCD$ un trapecio con base $AD$ . Denote por $M$ el punto de intersección de las bisectrices exteriores de los ángulos en los vértices $A$ y $B$ , y por $N$ el punto de intersección de las bisectrices exteriores de los ángulos en los vértices $C$ y $D$ . Demuestre que la longitud del segmento $MN$ es igual a la mitad del perímetro del trapecio. P3. Halle todos los números naturales que se pueden representar en la forma $\frac{mn+1}{m+n}$ , donde $m$ y $n$ son números naturales. P4. Sean $a, b, c$ números reales no negativos. Demuestre que $ab+bc+ca\geqslant\sqrt{3abc(a+b+c)}$ . P5. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sobre los lados $AB$ y $BC$ se construyen exteriormente los rectángulos $ABMN$ y $LBCK$ de modo que $AB=KC$ . Demuestre que las rectas $AL$ , $NK$ y $MC$ se cortan en un único punto. P6. Los números naturales del $1$ al $127$ se reparten en varios (más de uno) grupos con sumas iguales. Demuestre que el número de tales grupos es par.

2 Sea $N$ un entero positivo. En un pizarrón se escriben algunos enteros que satisfacen las siguientes condiciones: 1. Todos los números escritos son enteros del 1 al $N$. 2. Se escribe más de un entero del 1 al $N$. 3. La suma de los números escritos es par. Si marcamos con $X$ algunos de los números escritos y marcamos con $Y$ todos los restantes, demuestra que podemos lograr que la suma de los números marcados con $X$ sea igual a la de los marcados con $Y$.