Para cada entero no negativo $k$ sea $S(k)$ la suma de los dígitos decimales de $k$. Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios con coeficientes enteros no negativos tales que $S(P(n)) = S(Q(n))$ para todos los enteros no negativos $n$. Demuestre que existe un entero $t$ tal que $P(x) - 10^tQ(x)$ es un polinomio constante.

Sea $n$ un entero positivo. Sea $S$ un conjunto de pares ordenados $(x, y)$ tales que $1\leq x \leq n$ y $0 \leq y \leq n$ en cada par, y no hay pares $(a, b)$ y $(c, d)$ de elementos diferentes en $S$ tales que $a^2+b^2$ divida tanto a $ac+bd$ como a $ad - bc$. En términos de $n$, determine el tamaño del conjunto $S$ más grande posible.

Se elige un punto $P$ dentro de un triángulo $ABC$ con circuncírculo $\Omega$. Sea $\Gamma$ el círculo que pasa por los circuncentros de los triángulos $APB$, $BPC$ y $CPA$. Sean $\Omega$ y $\Gamma$ se intersecan en los puntos $X$ e $Y$. Sea $Q$ la reflexión de $P$ en la recta $XY$. Demuestre que $\angle BAP = \angle CAQ$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sean $DA$ y $BC$ se intersecan en $E$ y sean $AB$ y $CD$ se intersecan en $F$. Asuma que $A, E, F$ yacen en el mismo lado de $BD$. Sea $P$ en el segmento $DA$ tal que $\angle CPD = \angle CBP$, y sea $Q$ en el segmento $CD$ tal que $\angle DQA = \angle QBA$. Sean $AC$ y $PQ$ se intersecan en $X$. Demuestre que, si $EX = EP$, entonces $EF$ es perpendicular a $AC$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y circuncírculo $\omega$. El incírculo del triángulo $ABC$ toca los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente. El circuncírculo del triángulo $ADI$ cruza $\omega$ de nuevo en $P$, y las rectas $PE$ y $PF$ cruzan $\omega$ de nuevo en $X$ y $Y$, respectivamente. Demuestre que las rectas $AI$, $BX$ y $CY$ son concurrentes.

Para enteros positivos $m,n \geq 2$, sea $S_{m,n} = \{(i,j): i \in \{1,2,\ldots,m\}, j\in \{1,2,\ldots,n\}\}$ una cuadrícula de $mn$ puntos reticulares en el plano coordenado. Determine todos los pares $(m,n)$ para los cuales existe un polígono simple $P$ con vértices en $S_{m,n}$ tal que todos los puntos en $S_{m,n}$ están en la frontera de $P$, todos los ángulos interiores de $P$ son o bien $90^{\circ}$ o $270^{\circ}$ y todas las longitudes de los lados de $P$ son $1$ o $3$.

Determinar todos los enteros $n \geq 3$ para los cuales existe una configuración de $n$ puntos en el plano, no tres colineales, que pueden ser etiquetados $1$ a $n$ de dos maneras diferentes, de modo que se cumpla la siguiente condición: Para cada triple $(i,j,k), 1 \leq i < j < k \leq n$, el triángulo $ijk$ en una etiqueta tiene la misma orientación que el triángulo etiquetado $ijk$ en la otra, excepto para $(i,j,k) = (1,2,3)$.

Fijar un entero $n \geq 2$ y sean $a_1, \ldots, a_n$ enteros, donde $a_1 = 1$. Sea $$ f(x) = \sum_{m=1}^n a_mm^x. $$ Suponga que $f(x) = 0$ para algún $K$ valores enteros positivos consecutivos de $x$. En términos de $n$, determinar el valor máximo posible de $K$.

Determinar todos los polinomios $P$ con coeficientes reales que satisfacen la siguiente condición: siempre que $x$ e $y$ sean números reales tales que $P(x)$ y $P(y)$ sean ambos racionales, también lo es $P(x + y)$.

Demostrar que existe un conjunto $ A$ de enteros positivos con la siguiente propiedad: para cualquier conjunto infinito $ S$ de primos, existen dos enteros positivos $ m$ en $ A$ y $ n$ no en $ A$, cada uno de los cuales es un producto de $ k$ elementos distintos de $ S$ para algún $ k \geq 2$.