13 Una partícula se mueve en el plano cartesiano según las siguientes reglas: 1. Desde cualquier punto de la red $ (a,b)$ , la partícula solo puede moverse a $ (a + 1,b)$ , $ (a,b + 1)$ o $ (a + 1,b + 1)$ . 2. No hay giros de ángulo recto en la trayectoria de la partícula. ¿Cuántas trayectorias diferentes puede tomar la partícula desde $ (0,0)$ hasta $ (5,5)$ ?

14 En el triángulo \(ABC\), \(AB=13\), \(BC=15\) y \(CA=14\). El punto \(D\) está sobre \(\overline{BC}\) con \(CD=6\). El punto \(E\) está sobre \(\overline{BC}\) tal que \(\angle BAE\cong \angle CAD\). Dado que \(BE=\frac pq\) donde \(p\) y \(q\) son enteros positivos primos relativos, encuentra \(q\).

15 Sean \( w_{1} \) y \( w_{2} \) los círculos \( x^{2}+y^{2}+10x-24y-87=0 \) y \( x^{2}+y^{2}-10x-24y+153=0 \), respectivamente. Sea \( m \) el menor valor positivo de \( a \) para el cual la recta \( y=ax \) contiene el centro de un círculo que es tangente externamente a \( w_{2} \) e internamente a \( w_{1} \). Dado que \( m^{2}=p/q \), donde \( p \) y \( q \) son enteros primos relativos, encuentra \( p+q \).

Una cuerda de un círculo es perpendicular a un radio en el punto medio del radio. La razón entre el área de la región más grande de las dos en que la cuerda divide al círculo y la más pequeña se puede expresar en la forma $\frac{a\pi+b\sqrt{c}}{d\pi-e\sqrt{f}}$, donde $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ y $f$ son enteros positivos, $a$ y $e$ son primos relativos, y ni $c$ ni $f$ son divisibles por el cuadrado de ningún primo. Encuentra el residuo cuando el producto $abcdef$ se divide entre 1000.

2 Un frasco tiene 10 dulces rojos y 10 dulces azules. Terry elige dos dulces al azar, luego Mary elige dos de los dulces restantes al azar. Dado que la probabilidad de que obtengan la misma combinación de colores, sin importar el orden, es $m/n$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos, encuentra $m+n$.

Un poliedro convexo \(P\) tiene 26 vértices, 60 aristas y 36 caras, de las cuales 24 son triangulares y 12 son cuadriláteras. Una diagonal espacial es un segmento de recta que conecta dos vértices no adyacentes que no pertenecen a la misma cara. ¿Cuántas diagonales espaciales tiene \(P\)?

4 Un cuadrado tiene lados de longitud $2$ . El conjunto $S$ es el conjunto de todos los segmentos de recta que tienen longitud $2$ y cuyos extremos están en lados adyacentes del cuadrado. Los puntos medios de los segmentos de recta en el conjunto $S$ encierran una región cuya área, redondeada a la centésima más cercana, es $k$ . Encuentra $100k$ .

5 Para completar un trabajo grande, se contrataron 1000 trabajadores, justo los suficientes para terminar el trabajo a tiempo. Todos los trabajadores permanecieron en el trabajo mientras se hizo el primer cuarto del trabajo, así que el primer cuarto se completó a tiempo. Luego se despidieron 100 trabajadores, por lo que el segundo cuarto del trabajo se completó con retraso. Luego se despidieron otros 100 trabajadores, por lo que el tercer cuarto del trabajo se completó aún más con retraso. Dado que todos los trabajadores trabajan al mismo ritmo, ¿cuál es el número mínimo de trabajadores adicionales, además de los 800 que aún están en el trabajo al final del tercer cuarto, que deben ser contratados después de que se haya completado tres cuartos del trabajo para que todo el proyecto pueda completarse a tiempo o antes?

Seis monos astutos dividen un montón de bananas. El primer mono toma algunas bananas del montón, se queda con tres cuartas partes de ellas y reparte el resto por igual entre los otros dos. El segundo mono toma algunas bananas del montón, se queda con una cuarta parte de ellas y reparte el resto por igual entre los otros dos. El tercer mono toma las bananas restantes del montón, se queda con una doceava parte de ellas y reparte el resto por igual entre los otros dos. Dado que cada mono recibe un número entero de bananas cada vez que se dividen las bananas, y que los números de bananas que tienen el primer, segundo y tercer mono al final del proceso están en la razón $3: 2: 1$, ¿cuál es el menor total posible de bananas?

Define una estrella regular de $n$ puntas como la unión de $n$ segmentos de recta $P_1P_2, P_2P_3,\ldots, P_nP_1$ tales que $\bullet$ los puntos $P_1, P_2,\ldots, P_n$ son coplanares y no hay tres de ellos colineales, $\bullet$ cada uno de los $n$ segmentos intersecta al menos a otro de los segmentos en un punto distinto de un extremo, $\bullet$ todos los ángulos en $P_1, P_2,\ldots, P_n$ son congruentes, $\bullet$ todos los $n$ segmentos $P_2P_3,\ldots, P_nP_1$ son congruentes, y $\bullet$ el recorrido $P_1P_2, P_2P_3,\ldots, P_nP_1$ gira en sentido contrario a las manecillas del reloj con un ángulo menor de 180 grados en cada vértice. No existen estrellas regulares de 3 puntas, 4 puntas ni 6 puntas. Todas las estrellas regulares de 5 puntas son semejantes, pero hay dos estrellas regulares de 7 puntas no semejantes. ¿Cuántas estrellas regulares de 1000 puntas no semejantes hay?