Diez monedas de $1$ cm de radio se colocan alrededor de un círculo como se indica en la figura. Cada moneda es tangente al círculo y a sus dos monedas vecinas. Pruebe que la suma de las áreas de las diez monedas es el doble del área del círculo.

En el trapecio $ABCD$, el lado $DA$ es perpendicular a las bases $AB$ y $CD$. La base $AB$ mide $45$, la base $CD$ mide $20$ y el lado $BC$ mide $65$. Sea $P$ en el lado $BC$ tal que $BP$ mide $45$ y $M$ es el punto medio de $DA$. Calcular la medida del segmento $PM$.

Sea $S$ un círculo con radio $2$, sea $S_1$ un círculo, con radio $1$ y tangente, internamente a $S$ en $B$ y sea $S_2$ un círculo, con radio $1$ y tangente a $S_1$ en $A$, pero $S_2$ no es tangente a $S$. Si $K$ es el punto de intersección de la línea $AB$ y el círculo $S$, pruebe que $K$ está en el círculo $S_2$.

Dado un paralelogramo con área $1$ y construiremos líneas donde estas líneas conectan un vértice con un punto medio del lado no adyacente a este vértice; con las $8$ líneas formadas tenemos un octágono dentro del paralelogramo. Determine el área de este octágono

Hay $12$ puntos que son vértices de un polígono regular con $12$ lados. Rafael debe dibujar segmentos que tengan sus dos extremos en dos de los puntos dibujados. Se le permite que cada punto sea un extremo de más de un segmento y que los segmentos se intersecten, pero tiene prohibido dibujar tres segmentos que sean los tres lados de un triángulo en el que cada vértice sea uno de los $12$ puntos de partida. Encuentre el número máximo de segmentos que Rafael puede dibujar y justifique por qué no puede dibujar un número mayor de segmentos.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. $M$ es el punto medio del segmento $AB$ y $N$ es el punto medio del segmento $BC$. Sea $P$ el punto fuera de $ABC$ tal que el triángulo $ACP$ es isósceles y recto en $P$. $PM$ y $AN$ se cortan en $I$. Pruebe que $CI$ es la bisectriz del ángulo $MCA$.

En un círculo unitario donde $O$ es su circuncentro, sean $A$ y $B$ puntos en el círculo con $\angle BOA = 90$. En el arco $AB$ (arco menor) tenemos los puntos $P$ y $Q$ tales que $PQ$ es paralelo a $AB$. Sean $X$ y $Y$ los puntos de intersección de la línea $PQ$ con $OA$ y $OB$ respectivamente. Encuentre el valor de $PX^2 + PY^2$

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. $N$ es un punto en el lado $AC$ tal que $\vec{AC} = 7\vec{AN}$, $M$ es un punto en el lado $AB$ tal que $MN$ es paralelo a $BC$ y $P$ es un punto en el lado $BC$ tal que $MP$ es paralelo a $AC$. Encuentre la razón de áreas $\frac{ (MNP)}{(ABC)}$

¿Cuáles son las posibles áreas de un hexágono con todos los ángulos iguales y lados $1, 2, 3, 4, 5$ y $6$, en algún orden?

En un cuadrado $ABCD$ de lado $k$, sean $P$ y $Q$ en $BC$ y $DC$ respectivamente, donde $PC = 3PB$ y $QD = 2QC$. Sea $M$ el punto de intersección de las líneas $AQ$ y $PD$, determine el área de $QMD$ en función de $k$.