Sea $ABCD$ un cuadrado y sea el punto $F$ cualquier punto del lado $BC$. Sea la línea perpendicular a $DF$, que pasa por $B$, interseca la línea $DC$ en $Q$. ¿Cuál es el valor de $\angle FQC$?

Sea $ABCD$ un rectángulo. Una línea $r$ se mueve paralela a $AB$ e interseca la diagonal $AC$, formando dos triángulos opuestos al vértice, dentro del rectángulo. Pruebe que la suma de las áreas de estos triángulos es mínima cuando $r$ pasa por el punto medio del segmento $AD$.

Consideremos una pirámide cuya base es un triángulo equilátero $BCD$ y cuyas otras caras son triángulos isósceles, rectos en el vértice común $A$. Una hormiga sale del vértice $B$, llega a un punto $P$ del lado $CD$, desde allí va a un punto $Q$ del lado $AC$ y regresa al punto $B$. Si el camino que hizo es mínimo, ¿cuánto mide el ángulo $PQA$?

Sea $\nu$ un número positivo irracional, y sea $m$ un entero positivo. Un par $(a,b)$ de enteros positivos se llama bueno si \[a \left \lceil b\nu \right \rceil - b \left \lfloor a \nu \right \rfloor = m.\] Un par bueno $(a,b)$ se llama excelente si ninguno de los pares $(a-b,b)$ y $(a,b-a)$ es bueno. Demuestre que el número de pares excelentes es igual a la suma de los divisores positivos de $m$.

Determine todas las funciones $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Z} $ que satisfacen \[ f \left( \frac{f(x)+a} {b}\right) = f \left( \frac{x+a}{b} \right) \] para todo $x \in \mathbb{Q}$ , $a \in \mathbb{Z}$ , y $b \in \mathbb{Z}_{>0}$ . (Aquí, $\mathbb{Z}_{>0}$ denota el conjunto de enteros positivos.)

Fije un entero $k>2$ . Dos jugadores, llamados Ana y Banana, juegan el siguiente juego de números. Inicialmente, algún entero $n \ge k$ se escribe en la pizarra. Luego, hacen movimientos por turnos, comenzando Ana. Un jugador que hace un movimiento borra el número $m$ recién escrito en la pizarra y lo reemplaza por algún número $m'$ con $k \le m' < m$ que es coprimo con $m$ . El primer jugador que ya no puede moverse pierde. Un entero $n \ge k $ se llama bueno si Banana tiene una estrategia ganadora cuando el número inicial es $n$ , y malo en caso contrario. Considere dos enteros $n,n' \ge k$ con la propiedad de que cada número primo $p \le k$ divide a $n$ si y solo si divide a $n'$ . Demuestre que o bien tanto $n$ como $n'$ son buenos o ambos son malos.

Determine si existe una secuencia infinita de dígitos distintos de cero $a_1 , a_2 , a_3 , \cdots $ y un entero positivo $N$ tal que para cada entero $k > N$ , el número $\overline{a_k a_{k-1}\cdots a_1 }$ es un cuadrado perfecto.

Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que el factor primo más grande de $n^4 + n^2 + 1$ es igual al factor primo más grande de $(n+1)^4 + (n+1)^2 +1$ .

Asuma que $k$ y $n$ son dos enteros positivos. Demuestre que existen enteros positivos $m_1 , \dots , m_k$ tales que \[1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac1{m_1}\right)\cdots \left(1+\frac1{m_k}\right).\]

Sea $\mathbb{Z} _{>0}$ el conjunto de enteros positivos. Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{Z} _{>0}\rightarrow \mathbb{Z} _{>0}$ tales que \[ m^2 + f(n) \mid mf(m) +n \] para todos los enteros positivos $m$ y $n$ .