4 Una herramienta de corte de una máquina tiene la forma de un círculo con una muesca, como se muestra. El radio del círculo es $\sqrt{50}$ cm, la longitud de $AB$ es 6 cm, y la de $BC$ es 2 cm. El ángulo $ABC$ es un ángulo recto. Encuentra el cuadrado de la distancia (en centímetros) desde $B$ al centro del círculo. [asy] size(150); defaultpen(linewidth(0.65)+fontsize(11)); real r=10; pair O=(0,0),A=r*dir(45),B=(A.x,A.y-r),C; path P=circle(O,r); C=intersectionpoint(B--(B.x+r,B.y),P); draw(Arc(O, r, 45, 360-17.0312)); draw(A--B--C);dot(A); dot(B); dot(C); label("$A$",A,NE); label("$B$",B,SW); label("$C$",C,SE); [/asy]

8 ¿Cuál es el factor primo de 2 dígitos más grande del entero $n = \binom{200}{100}$?

5 Supón que la suma de los cuadrados de dos números complejos $x$ y $y$ es 7 y la suma de los cubos es 10. ¿Cuál es el mayor valor real que puede tener $x + y$?

La figura adjunta muestra dos cuerdas que se intersecan en un círculo, con \(B\) en el arco menor \(AD\). Supón que el radio del círculo es 5, que \(BC = 6\), y que \(AD\) es bisecado por \(BC\). Supón además que \(AD\) es la única cuerda que comienza en \(A\) y es bisecada por \(BC\). Se sigue que el seno del arco menor \(AB\) es un número racional. Si esta fracción se expresa como una fracción \(m/n\) en términos mínimos, ¿cuál es el producto \(mn\)? [asy] size(200); defaultpen(linewidth(0.7)+fontsize(10)); pair A=dir(200), D=dir(95), M=midpoint(A--D), C=dir(30), BB=C+2*dir(C--M), B=intersectionpoint(M--BB, Circle(origin, 1)); draw(Circle(origin, 1)^^A--D^^B--C); real r=0.05; pair M1=midpoint(M--D), M2=midpoint(M--A); draw((M1+0.1*dir(90)*dir(A--D))--(M1+0.1*dir(-90)*dir(A--D))); draw((M2+0.1*dir(90)*dir(A--D))--(M2+0.1*dir(-90)*dir(A--D))); pair point=origin; label("$A$", A, dir(point--A)); label("$B$", B, dir(point--B)); label("$C$", C, dir(point--C)); label("$D$", D, dir(point--D));[/asy]

4 $ a_1, a_2, \cdots, a_n$ es una sucesión de números reales, y $ b_1, b_2, \cdots, b_n$ son números reales que satisfacen la condición $ 1 \ge b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n \ge 0$ . Demuestre que existe un número natural $ k \le n$ que satisface $ |a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n| \le |a_1 + a_2 + \cdots + a_k|$

5 5. Tom tiene 13 pesas que parecen iguales; sin embargo, 12 de ellas pesan lo mismo y la 13.ª pesa es falsa y pesa más que las demás. También tiene dos balanzas: una muestra correctamente qué platillo es más pesado o que sus pesos son iguales; la otra da el resultado correcto cuando los pesos en los platillos difieren, y da un resultado aleatorio cuando los pesos son iguales. (Tom no sabe cuál balanza es cuál). Tom puede elegir la balanza antes de cada pesada. Demuestre que puede determinar con seguridad la pesa falsa en tres pesadas. Andrey Arzhantsev

3 Halle todos los números naturales $n$ para los cuales todo número natural escrito con $~$ $n-1$ $~$ 'unos' y un 'siete' es primo.

El diámetro \(AB\) de un círculo tiene una longitud que es un entero de 2 dígitos (en base diez). Al invertir los dígitos se obtiene la longitud de la cuerda perpendicular \(CD\). La distancia desde su punto de intersección \(H\) hasta el centro \(O\) es un número racional positivo. Determina la longitud de \(AB\).

11 El sólido mostrado tiene una base cuadrada de lado $s$. El borde superior es paralelo a la base y tiene longitud $2s$. Todos los demás bordes tienen longitud $s$. Dado que $s = 6 \sqrt{2}$, ¿cuál es el volumen del sólido? [asy] import three; size(170); pathpen = black+linewidth(0.65); pointpen = black; currentprojection = perspective(30,-20,10); real s = 6 * 2^.5; triple A=(0,0,0),B=(s,0,0),C=(s,s,0),D=(0,s,0),E=(-s/2,s/2,6),F=(3*s/2,s/2,6); draw(F--B--C--F--E--A--B); draw(A--D--E, dashed); draw(D--C, dashed); label("$2s$", (s/2, s/2, 6), N); label("$s$", (s/2, 0, 0), SW); [/asy]

1 Demuestre que para cada coloración de los puntos interiores o de la frontera de un cuadrado con $1391$ colores, existe un hexágono regular monocromático.