$ABCD$$E$$F$$BC$$AD$$AED$$BCF$$\frac{4}{7}$$ABCD$$R$$ABCD$$\frac{AR}{RC}=\frac{3}{5}$$\frac{BR}{RD}=\frac{5}{6}$$EF$$\frac{AF}{FD}$

Mykhailo quiere ordenar todos los enteros positivos del $1$ al $2024$ en un círculo de modo que cada número se use exactamente una vez y que para cualesquiera tres números consecutivos $a, b, c$ el número $a + c$ sea divisible por $b + 1$ . ¿Puede lograrlo? Propuesto por Fedir Yudin

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones en números reales: $$\left\{\begin{array}{l}x^2=y^2+z^2,\\x^{2024}=y^{2024}+z^{2024},\\x^{2025}=y^{2025}+z^{2025}.\end{array}\right.$$ Propuesto por Mykhailo Shtandenko, Anton Trygub, Bogdan Rublov

Hay $n \geq 1$ cuadernos, numerados del $1$ al $n$ , apilados en una pila. Zahar repite la siguiente operación: elige al azar un cuaderno cuyo número $k$ no corresponde a su ubicación en esta pila, contando de arriba hacia abajo, y lo devuelve a la posición $k$ -ésima contando desde arriba, sin cambiar la ubicación de los demás cuadernos. Si no existe tal cuaderno, se detiene. ¿Está garantizado que Zahar ordenará todos los cuadernos en orden ascendente de números en una cantidad finita de operaciones? Propuesto por Zahar Naumets

Sean $AH_A, BH_B, CH_C$ las alturas del triángulo $ABC$ . Los puntos $A_1$ y $C_1$ son las proyecciones del punto $H_B$ sobre los lados $AB$ y $BC$ , respectivamente. $B_1$ es la proyección de $B$ sobre $H_AH_C$ . Demuestre que el diámetro de la circunferencia circunscrita del $\triangle A_1B_1C_1$ es igual a $BH_B$ . Propuesto por Anton Trygub

4 Sea $n$ un entero positivo. En la retícula infinita $\mathbb{Z}^2$ , $n$ puntos están coloreados de rojo mientras que el resto está coloreado de azul. Cada punto rojo está etiquetado con la distancia al punto azul más cercano en la misma fila o columna. Halle el menor número real $\alpha$ para el cual la suma de todas las etiquetas no supera $100n^\alpha$ , independientemente de $n$ y de la colocación de los puntos rojos. (Nota: Una fila es el conjunto de puntos con una $y$ - coordenada dada, y una columna es el conjunto de puntos con una $x$ - coordenada dada.) Ruben Carpenter

Para cualesquiera números reales positivos $a, b, c, d$ , demuestre la siguiente desigualdad: $$(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+d^2)(d^2+a^2) \geq 64abcd|(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)|$$ Propuesto por Anton Trygub

Para algún entero positivo $n$ , Katya escribió en la pizarra, uno al lado del otro, los números $2^n$ y $14^n$ (en ese orden), formando así un nuevo número $A$ . ¿Puede el número $A - 1$ ser primo? Propuesto por Oleksii Masalitin

Sea $BD$ una altura del $\triangle ABC$ con $AB < BC$ y $\angle B > 90^\circ$ . Sea $M$ el punto medio de $AC$ , y sea el punto $K$ simétrico al punto $D$ con respecto al punto $M$ . Una perpendicular trazada desde el punto $M$ a la recta $BC$ corta a la recta $AB$ en el punto $L$ . Demuestre que $\angle MBL = \angle MKL$ . Propuesto por Oleksandra Yakovenko

Igual que 8.4