Demostrar que si para un polinomio $P(x, y)$ , tenemos \[P(x - 1, y - 2x + 1) = P(x, y),\] entonces existe un polinomio $\Phi(x)$ con $P(x, y) = \Phi(y - x^2).$

Para un punto $O$ dentro de un triángulo $ABC$, denotemos por $A_1,B_1, C_1,$ los respectivos puntos de intersección de $AO, BO, CO$ con los lados correspondientes. Sea \[n_1 =\frac{AO}{A_1O}, n_2 = \frac{BO}{B_1O}, n_3 = \frac{CO}{C_1O}.\] ¿Qué valores posibles de $n_1, n_2, n_3$ pueden ser todos enteros positivos?

Determinar el número más grande, que es el producto de algunos enteros positivos, y la suma de estos números es $1976.$

Sea $g(x)$ un polinomio fijo con coeficientes reales y defina $f(x)$ por $f(x) =x^2 + xg(x^3)$. Demuestre que $f(x)$ no es divisible por $x^2 - x + 1$.

En $ ABC$, el círculo inscrito es tangente al lado $BC$ en $ X$. Se dibuja el segmento $ AX$. Demuestre que la línea que une el punto medio de $ AX$ con el punto medio del lado $ BC$ pasa por el centro $ I$ del círculo inscrito.

Sea $x =\sqrt{a}+\sqrt{b}$, donde $a$ y $b$ son números naturales, $x$ no es un entero y $x < 1976$. Demuestre que la parte fraccionaria de $x$ excede $10^{-19.76}$.

De un tablero cuadrado de $11$ cuadrados de largo y $11$ cuadrados de ancho, se elimina el cuadrado central. Demuestre que los $120$ cuadrados restantes no se pueden cubrir con $15$ tiras, cada una de $8$ unidades de largo y una unidad de ancho.

Tres círculos concéntricos con centro común $O$ son cortados por una cuerda común en los puntos sucesivos $A, B, C$. Las tangentes trazadas a los círculos en los puntos $A, B, C$ encierran una región triangular. Si la distancia desde el punto $O$ a la cuerda común es igual a $p$, demuestre que el área de la región encerrada por las tangentes es igual a \[\frac{AB \cdot BC \cdot CA}{2p}\]

Sea $P$ un polinomio con coeficientes reales tal que $P(x) > 0$ si $x > 0$. Demuestra que existen polinomios $Q$ y $R$ con coeficientes no negativos tales que $P(x) = \frac{Q(x)}{R(x)}$ si $x > 0.$

Sean $\{a_n\}^{\infty}_0$ y $\{b_n\}^{\infty}_0$ dos sucesiones determinadas por las fórmulas de recursión \n\[a_{n+1} = a_n + b_n,\]\n\[ b_{n+1} = 3a_n + b_n, n= 0, 1, 2, \cdots,\]\ny los valores iniciales $a_0 = b_0 = 1$. Demuestra que existe una constante $c$ determinada únicamente tal que $n|ca_n-b_n| < 2$ para todos los enteros no negativos $n$.