10 Un círculo de radio 1 se coloca aleatoriamente en un rectángulo de 15 por 36 $ABCD$ de modo que el círculo quede completamente dentro del rectángulo. Dado que la probabilidad de que el círculo no toque la diagonal $AC$ es $m/n$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m + n$.

9 Una sucesión de enteros positivos con \(a_1=1\) y \(a_9+a_{10}=646\) se forma de modo que los primeros tres términos están en progresión geométrica, el segundo, tercero y cuarto términos están en progresión aritmética, y, en general, para todo \(n\ge1\), los términos \(a_{2n-1}\), \(a_{2n}\), \(a_{2n+1}\) están en progresión geométrica, y los términos \(a_{2n}\), \(a_{2n+1}\) y \(a_{2n+2}\) están en progresión aritmética. Sea \(a_n\) el mayor término de esta sucesión que es menor que 1000. Encuentra \(n+a_n\).

Un sólido con forma de cono circular recto tiene 4 pulgadas de altura y su base tiene un radio de 3 pulgadas. Toda la superficie del cono, incluida su base, está pintada. Un plano paralelo a la base del cono divide el cono en dos sólidos: un cono más pequeño con forma de sólido $C$ y un sólido con forma de tronco de cono $F$, de tal manera que la razón entre las áreas de las superficies pintadas de $C$ y $F$ y la razón entre los volúmenes de $C$ y $F$ son ambas iguales a $k$. Dado que $k=m/n$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos, encuentra $m+n$.

4 4. Se da un triángulo $A B C$ con el ángulo $A$ igual a $60^{\circ}$ . Su circunferencia inscrita es tangente al lado $A B$ en el punto $D$ , mientras que su excircunferencia, tangente al lado $A C$ , es tangente a la prolongación del lado $A B$ en el punto $E$ . Demuestre que la perpendicular al lado $A C$ que pasa por el punto $D$ corta nuevamente a la circunferencia inscrita en un punto equidistante de los puntos $E$ y $C$ . (La excircunferencia es la circunferencia tangente a un lado del triángulo y a las prolongaciones de los otros dos lados.) Azamat Mardanov

3 Define una $good~word$ como una secuencia de letras que consiste únicamente de las letras $A,$ $B$ y $C$ $-$ algunas de estas letras pueden no aparecer en la secuencia $-$ y en la cual $A$ nunca es seguida inmediatamente por $B,$ $B$ nunca es seguida inmediatamente por $C,$ y $C$ nunca es seguida inmediatamente por $A.$ ¿Cuántas palabras buenas de siete letras hay?

14 Un unicornio está atado con una cuerda plateada de 20 pies a la base de una torre cilíndrica de un mago cuyo radio es de 8 pies. La cuerda está sujeta a la torre a nivel del suelo y al unicornio a una altura de 4 pies. El unicornio ha tensado la cuerda, el extremo de la cuerda está a 4 pies del punto más cercano de la torre, y la longitud de la cuerda que está tocando la torre es $\frac{a-\sqrt{b}}c$ pies, donde $a, b$ y $c$ son enteros positivos, y $c$ es primo. Encuentra $a+b+c$.

13 El polinomio \[P(x)=(1+x+x^2+\cdots+x^{17})^2-x^{17}\] tiene 34 raíces complejas de la forma $z_k=r_k[\cos(2\pi a_k)+i\sin(2\pi a_k)], k=1, 2, 3,\ldots, 34$ , con $0<a_1\le a_2\le a_3\le\cdots\le a_{34}<1$ y $r_k>0$ . Dado que $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=m/n$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos, encuentra $m+n$ .

El producto $N$ de tres enteros positivos es $6$ veces su suma, y uno de los enteros es la suma de los otros dos. Encuentra la suma de todos los valores posibles de $N.$

2 Cien círculos concéntricos con radios \(1, 2, 3, \dots, 100\) se dibujan en un plano. El interior del círculo de radio 1 se colorea de rojo, y cada región delimitada por círculos consecutivos se colorea de rojo o verde, sin que dos regiones adyacentes tengan el mismo color. La razón entre el área total de las regiones verdes y el área del círculo de radio 100 se puede expresar como \(m/n\), donde \(m\) y \(n\) son enteros positivos primos relativos. Encuentra \(m + n\).

4 En un tetraedro regular, los centros de las cuatro caras son los vértices de un tetraedro más pequeño. La razón del volumen del tetraedro más pequeño al del más grande es $m/n$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.