Un conjunto finito de puntos $P$ en el plano tiene la siguiente propiedad: Cada línea que pasa por dos puntos en $P$ contiene al menos un punto más perteneciente a $P$. Demuestra que todos los puntos en $P$ se encuentran en una línea recta.\n\nObservación: Este puede ser un teorema bien conocido llamado 'Sylvester Gallai', pero no encontré este problema (quiero decir, exactamente este) usando la función de búsqueda. Así que por favor discutan sobre el problema aquí, en este tema. ¡Gracias :)

Consideramos el tablero de ajedrez infinito que cubre todo el plano. En cada campo del tablero de ajedrez hay un número real no negativo. Cada número es la media aritmética de los números en los cuatro campos adyacentes del tablero de ajedrez. Demuestra que los números que aparecen en los campos del tablero de ajedrez son todos iguales.

En cada cara lateral de una pirámide cuadrangular se inscribe un círculo. Los círculos inscritos en caras adyacentes son tangentes (tienen un punto en común). Demuestra que los puntos de contacto de los círculos con la base de la pirámide se encuentran en un círculo.

Probar que si $P(x) = (x-a)^kQ(x)$ , donde $k$ es un entero positivo, $a$ es un número real no nulo, $Q(x)$ es un polinomio no nulo, entonces $P(x)$ tiene al menos $k + 1$ coeficientes no nulos.

Sea $I = (0, 1]$ el intervalo unidad de la recta real. Para un número dado $a \in (0, 1)$ definimos un mapa $T : I \to I$ por la fórmula si \[ T (x, y) = \begin{cases} x + (1 - a),&\mbox{ si } 0< x \leq a,\\ \text{ } \\ x - a, & \mbox{ si } a < x \leq 1.\end{cases} \] Mostrar que para cada intervalo $J \subset I$ existe un entero $n > 0$ tal que $T^n(J) \cap J \neq \emptyset.$

Sea $Q$ un cuadrado unitario en el plano: $Q = [0, 1] \times [0, 1]$ . Sea $T :Q \longrightarrow Q$ definida como sigue: \[T(x, y) =\begin{cases} (2x, \frac{y}{2}) &\mbox{ si } 0 \le x \le \frac{1}{2};\\(2x - 1, \frac{y}{2}+ \frac{1}{2})&\mbox{ si } \frac{1}{2} < x \le 1.\end{cases}\] Mostrar que para cada disco $D \subset Q$ existe un entero $n > 0$ tal que $T^n(D) \cap D \neq \emptyset.$

En un plano se dan tres puntos $P,Q,R,$ no alineados. Sean $k, l, m$ números positivos. Construir un triángulo $ABC$ cuyos lados pasen por $P, Q,$ y $R$ tal que $P$ divida el segmento $AB$ en la razón $1 : k$, $Q$ divida el segmento $BC$ en la razón $1 : l$, y $R$ divida el segmento $CA$ en la razón $1 : m.$

Una caja con forma de paralelepípedo se puede llenar completamente con cubos de lado $1$. Si colocamos en ella el máximo número posible de cubos, cada uno de volumen $2$, con los lados paralelos a los de la caja, entonces exactamente el $40$ por ciento del volumen de la caja está ocupado. Determinar las posibles dimensiones de la caja.

Consideramos el siguiente sistema con $q=2p$ : \[\begin{matrix} a_{11}x_{1}+\ldots+a_{1q}x_{q}=0,\\ a_{21}x_{1}+\ldots+a_{2q}x_{q}=0,\\ \ldots ,\\ a_{p1}x_{1}+\ldots+a_{pq}x_{q}=0,\\ \end{matrix}\] en el que cada coeficiente es un elemento del conjunto $\{-1,0,1\}$. Probar que existe una solución $x_{1}, \ldots,x_{q}$ para el sistema con las propiedades: a.) todos los $x_{j}, j=1,\ldots,q$ son enteros $;$ b.) existe al menos un j para el cual $x_{j} \neq 0;$ c.) $|x_{j}| \leq q$ para cualquier $j=1, \ldots ,q.$

Sea $0 \le x_1 \le x_2\le\cdots\le x_n \le 1$. Probar que para todo $A \ge 1$, existe un intervalo $I$ de longitud $2\sqrt[n]{A}$ tal que para todo $x \in I$, \[|(x - x_1)(x - x_2) \cdots (x -x_n)| \le A.\]