1 Suponga que $p$ es un número primo. Encuentre todos los números naturales $n$ tales que $p|\varphi(n)$ y para todo $a$ tal que $(a,n)=1$ se tiene \[ n|a^{\frac{\varphi(n)}{p}}-1 \] Nima Ahmadi

2 Suponga que se dispone de $n$ monedas cuya masa es desconocida. Tenemos una balanza de dos platillos y cada vez podemos elegir un número par de monedas, poner la mitad de ellas en un platillo de la balanza y la otra mitad en el otro platillo; de este modo se realiza una comparación. Nuestro objetivo es determinar si la masa de todas las monedas es igual o no. Demuestre que se requieren al menos $n-1$ comparaciones. Ramtin

3 Suponga que $ABC$ es un triángulo con $M$ el punto medio de $BC$ . Suponga que $AM$ interseca a la circunferencia inscrita en $K,L$ . Trazamos desde $K$ y $L$ rectas paralelas a $BC$ y llamamos $X$ e $Y$ a sus segundos puntos de intersección con la circunferencia inscrita. Suponga que $AX$ y $AY$ intersecan a $BC$ en $P$ y $Q$ . Demuestre que $BP=CQ$ . Nima Ahmadi

4 Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales. Demuestre que \[ \sum_{i,j=1}^n |x_i+x_j|\geq n\sum_{i=1}^n |x_i| \] Nima Ahmadi

5 Sea $ABC$ un triángulo tal que el radio de su circunferencia circunscrita es igual al radio de la circunferencia exinscrita con respecto a $A$ . Suponga que la circunferencia exinscrita con respecto a $A$ toca a $BC,AC,AB$ en $M,N,L$ . Demuestre que $O$ (centro de la circunferencia circunscrita) es el ortocentro de $MNL$ . Nima Ahmadi

6 Sea $G$ un torneo cuyas aristas están coloreadas de rojo o de azul. Demuestre que existe un vértice de $G$ , digamos $v$ , con la propiedad de que, para todo otro vértice $u$ , hay un camino dirigido monocromático de $v$ a $u$ . Nima Ahmadi

1 Tenemos $n$ puntos en el plano, sin tres colineales. Llamamos buenos a $k$ de ellos si forman un polígono convexo y no hay ningún otro punto dentro del polígono convexo. Suponga que para un $k$ fijo el número de conjuntos de $k$ puntos buenos es $c_k$ . Demuestre que la siguiente suma es independiente de la estructura de los puntos y solo depende de $n$ : \[ \sum_{i=3}^n (-1)^i c_i \] Nima Ahmadi

2 Sea $n$ un número natural fijo. a) Encuentre todas las soluciones de la siguiente ecuación : \[ \sum_{k=1}^n [\frac x{2^k}]=x-1 \] b) Encuentre el número de soluciones de la siguiente ecuación ( $m$ es un natural fijo) : \[ \sum_{k=1}^n [\frac x{2^k}]=x-m \] Nima Ahmadi

3 Sean $l,m$ dos rectas paralelas en el plano. Sea $P$ un punto fijo entre ellas. Sean $E,F$ puntos variables sobre $l,m$ tales que el ángulo $EPF$ es fijo e igual a un número $\alpha$ con $0<\alpha<\frac{\pi}2$ . (Por ángulo $EPF$ nos referimos al ángulo dirigido) Demuestre que existe otro punto (distinto de $P$ ) desde el cual el segmento $EF$ se ve también bajo un ángulo fijo. Nima Ahmadi

4 Sea $n$ un número natural fijo. Halle todas las $n$ -tuplas de números naturales distintos dos a dos y coprimos, como $a_1,a_2,\ldots,a_n$ , tales que para $1\leq i\leq n$ se tiene \[ a_1+a_2+\ldots+a_n|a_1^i+a_2^i+\ldots+a_n^i \] Nima Ahmadi