1 Los números racionales $a, b$ son tales que $a+b$ y $a^2+b^2$ son enteros. Demuestre que $a, b$ son enteros.

En el triángulo rectángulo \( \triangle ABC\) con hipotenusa \( \overline{AB}\), se tiene \( AC = 12\), \( BC = 35\), y \( \overline{CD}\) es la altura trazada hacia \( \overline{AB}\). Sea \( \omega\) el círculo que tiene a \( \overline{CD}\) como diámetro. Sea \( I\) un punto fuera de \( \triangle ABC\) tal que \( \overline{AI}\) y \( \overline{BI}\) son ambas tangentes al círculo \( \omega\). La razón del perímetro de \( \triangle ABI\) a la longitud \( AB\) se puede expresar en la forma \( \displaystyle\frac{m}{n}\), donde \( m\) y \( n\) son enteros positivos primos relativos. Encuentra \( m+n\).

13 Sean \( A \) y \( B \) los extremos de un arco semicircular de radio \( 2 \). El arco se divide en siete arcos congruentes mediante seis puntos igualmente espaciados \( C_1,C_2,\ldots,C_6 \). Se trazan todas las cuerdas de la forma \( \overline{AC_i} \) o \( \overline{BC_i} \). Sea \( n \) el producto de las longitudes de estas doce cuerdas. Encuentra el residuo cuando \( n \) se divide entre \( 1000 \).

14 Para \( t = 1, 2, 3, 4 \), define \( \displaystyle S_t = \sum_{i = 1}^{350}a_i^t \), donde \( a_i \in \{1,2,3,4\} \). Si \( S_1 = 513 \) y \( S_4 = 4745 \), encuentra el valor mínimo posible para \( S_2 \).

15 Sea \( \overline{MN} \) un diámetro de un círculo con diámetro \( 1 \). Sean \( A \) y \( B \) puntos sobre uno de los arcos semicirculares determinados por \( \overline{MN} \) tales que \( A \) es el punto medio del semicírculo y \( MB=\frac35 \). El punto \( C \) se encuentra sobre el otro arco semicircular. Sea \( d \) la longitud del segmento cuyos extremos son las intersecciones del diámetro \( \overline{MN} \) con las cuerdas \( \overline{AC} \) y \( \overline{BC} \). El mayor valor posible de \( d \) se puede escribir en la forma \( r-s\sqrt{t} \), donde \( r \), \( s \) y \( t \) son enteros positivos y \( t \) no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra \( r+s+t \).

1 De los estudiantes que asisten a una fiesta escolar, el $60\%$ de los estudiantes son niñas, y el $40\%$ de los estudiantes les gusta bailar. Después de que se unen $20$ estudiantes varones más, a todos los cuales les gusta bailar, la fiesta ahora tiene $58\%$ de niñas. ¿Cuántos estudiantes ahora en la fiesta les gusta bailar? E^(pi*i)=-1

2 Rudolph va en bicicleta a una velocidad constante y se detiene por un descanso de cinco minutos al final de cada milla. Jennifer va en bicicleta a una velocidad constante que es tres cuartos de la velocidad de Rudolph, pero Jennifer toma un descanso de cinco minutos al final de cada dos millas. Jennifer y Rudolph comienzan a andar en bicicleta al mismo tiempo y llegan a la marca de $ 50$ millas exactamente al mismo tiempo. ¿Cuántos minutos les ha tomado?

3 Ed y Sue andan en bicicleta a tasas iguales y constantes. De manera similar, corren a tasas iguales y constantes, y nadan a tasas iguales y constantes. Ed recorre $ 74$ kilómetros después de andar en bicicleta durante $ 2$ horas, correr durante $ 3$ horas y nadar durante $ 4$ horas, mientras que Sue recorre $ 91$ kilómetros después de correr durante $ 2$ horas, nadar durante $ 3$ horas y andar en bicicleta durante $ 4$ horas. Sus tasas de andar en bicicleta, correr y nadar son todas números enteros de kilómetros por hora. Encuentra la suma de los cuadrados de las tasas de andar en bicicleta, correr y nadar de Ed. E^(pi*i)=-1

Existen $ r$ enteros no negativos únicos $ n_1 > n_2 > \cdots > n_r$ y $ r$ enteros únicos $ a_k$ ( $ 1\le k\le r$ ) con cada $ a_k$ siendo $ 1$ o $ - 1$ tales que \[ a_13^{n_1} + a_23^{n_2} + \cdots + a_r3^{n_r} = 2008. \] Encuentra $ n_1 + n_2 + \cdots + n_r$ .

5 Un cono circular recto tiene radio de la base $ r $ y altura $ h $ . El cono descansa de lado sobre una mesa plana. Mientras el cono rueda sobre la superficie de la mesa sin resbalar, el punto donde la base del cono toca la mesa traza un arco circular centrado en el punto donde el vértice toca la mesa. El cono regresa por primera vez a su posición original sobre la mesa después de hacer $ 17 $ rotaciones completas. El valor de $ h/r $ se puede escribir en la forma $ m\sqrt {n} $ , donde $ m $ y $ n $ son enteros positivos y $ n $ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $ m + n $ . E^(pi*i)=-1