Si los enteros positivos $x$ e $y$ son tales que $3x + 4y$ y $4x + 3y$ son ambos cuadrados perfectos, demuestra que tanto $x$ como $y$ son divisibles por $7$ .

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC=BC$ , sea $M$ el punto medio de su lado $AC$ , y sea $Z$ la línea que pasa por $C$ perpendicular a $AB$ . El círculo que pasa por los puntos $B$ , $C$ , y $M$ interseca la línea $Z$ en los puntos $C$ y $Q$ . Encuentra el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en términos de $m = CQ$ .

Demuestra que la desigualdad \[ \frac{ x+y}{x^2-xy+y^2 } \leq \frac{ 2\sqrt 2 }{\sqrt{ x^2 +y^2 } } \] se cumple para todos los números reales $x$ e $y$ , no ambos iguales a 0.

Encontrar una función $f(x)$ definida para todos los valores reales de $x$ tal que para toda $x$ , \[f(x+ 2) - f(x) = x^2 + 2x + 4,\] y si $x \in [0, 2)$ , entonces $f(x) = x^2.$

Determinar si existen $1976$ triángulos no similares con ángulos $\alpha, \beta, \gamma,$ cada uno de ellos satisfaciendo las relaciones \[\frac{\sin \alpha + \sin\beta + \sin\gamma}{\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma}=\frac{12}{7}\text{ y }\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =\frac{12}{25}\]

El polinomio $1976(x+x^2+ \cdots +x^n)$ se descompone en una suma de polinomios de la forma $a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$ , donde $a_1, a_2, \ldots , a_n$ son enteros positivos distintos no mayores que $n$ . Encontrar todos los valores de $n$ para los cuales tal descomposición es posible.

Demostrar que $5^n$ tiene un bloque de $1976$ ceros consecutivos en su representación decimal.

Sean $a,b,c,d$ números reales no negativos. Demostrar que \[ a^4+b^4+c^4+d^4+2abcd \ge a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2.\]

Se nos dan $n (n \ge 5)$ círculos en un plano. Suponga que cada tres de ellos tienen un punto en común. Demostrar que todos los $n$ círculos tienen un punto en común.

Un círculo de radio $1$ rueda alrededor de un círculo de radio $\sqrt{2}$ . Inicialmente, el punto tangente se colorea de rojo. Posteriormente, los puntos rojos se mapean de un círculo a otro por contacto. ¿Cuántos puntos rojos habrá en el círculo más grande cuando el centro del más pequeño haya dado $n$ circuitos alrededor del más grande?